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Division von rationalen Zahlen

Bei der Division von rationalen Zahlen, auch rationale Division genannt, wird der Quotient von zwei rationalen Zahlen berechnet. Die rationale Division wird formal auf der Faktormenge der Äquivalenzrelation definiert, die den rationalen Zahlen zugrunde liegt, und ist der Division von Brüchen nachempfunden. Die Division von rationalen Zahlen ist weder assoziativ noch kommutativ und besitzt kein neutrales Element.

Dieser Artikel konzentriert sich auf das formale Dividieren von rationalen Zahlen. Details zum Rechnen mit Brüchen können im Artikel zur Division von Brüchen nachgelesen werden.

Definition

Rationale Zahlen

Hauptartikel: Rationale Zahlen

Die Menge $Q$ der rationalen Zahlen kann mithilfe einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf der Menge von geordneten Paaren ganzer Zahlen formal definiert werden; es gelte:

\forall a, b, c, d \in Z : (a, b) \sim (c, d) \Leftrightarrow a \cdot d = c \cdot b .

Bei der Menge der rationalen Zahlen handelt es sich um die Faktormenge (die Menge der Äquivalenzklassen) der Relation $\sim$ ; es gilt:

Q = Z \times Z / \sim = {{[(a, b)]}_{\sim} ∣ a, b \in Z, b \neq 0} .

Die Äquivalenzklasse ${[(a, b)]}_{\sim}$ repräsentiert hierbei konzeptuell die rationale Zahl, die dem Quotienten $\frac{a}{b}$ entspricht.

Rationale Division

Bei der rationalen Division handelt es sich um eine zweistellige Verknüpfung auf der Menge $Q$ der rationalen Zahlen. Sie verknüpft zwei Elemente der Faktormenge der Äquivalenzrelation $\sim$ zu einem neuen Element, das dem Quotienten der beiden rationalen Zahlen entspricht. Es gilt (für $a, b, c, d \in Z$ mit $b \neq 0$ , $c \neq 0$ und $d \neq 0$ ):

\begin{matrix} ⊘ : Q \times Q \to Q \\ {[(a, b)]}_{\sim} ⊘ {[(c, d)]}_{\sim} = {[(a \cdot d, b \cdot c)]}_{\sim} . \end{matrix}

Die rationale Division ist dem Dividieren von Brüchen nachempfunden und wird formal auf das Rechnen mit ganzen Zahlen zurückgeführt. Beim Operator $\cdot$ handelt es sich um die gewöhnliche Multiplikation von ganzen Zahlen.

Hinweis: Die Division von rationalen Zahlen kann, wie in Körpern üblich, alternativ auch auf die (rationale) Multiplikation mit dem multiplikativen Inversen des Divisors zurückgeführt werden.

Hinweis: Wird nur die Menge $Q ∖ {0}$ betrachtet, so handelt es sich bei der rationalen Division um eine innere zweistellige Verknüpfung. Für die Menge $Q$ selbst ist die Verknüpfung jedoch nicht abgeschlossen, da die Division durch Null nicht erlaubt ist.

Hinweis zur Schreibweise: Anstelle des Operators $⊘$ wird für die rationale Division typischerweise ebenfalls der Operator $:$ verwendet.

Beispiele

Beispiel 1: Division von zwei rationalen Zahlen

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei rationalen Zahlen berechnet. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen, ihre Darstellungen als Brüche sowie ihre formalen Repräsentationen:

\begin{aligned} r_{1} & = \frac{2}{3} = {[(2, 3)]}_{\sim} \\ r_{2} & = \frac{7}{5} = {[(7, 5)]}_{\sim} . \end{aligned}

Für den gesuchten Quotienten ergibt sich:

\begin{aligned} r_{1} ⊘ r_{2} & = \frac{2}{3} ⊘ \frac{7}{5} \\ = {[(2, 3)]}_{\sim} ⊘ {[(7, 5)]}_{\sim} \\ = {[(2 \cdot 5, 3 \cdot 7)]}_{\sim} \\ = {[(10, 21)]}_{\sim} \\ = \frac{10}{21} . \end{aligned}

Beispiel 2: Division von zwei rationalen Zahlen

Im zweiten Beispiel wird der Quotient von zwei rationalen Zahlen berechnet. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen, ihre Darstellungen als Brüche sowie ihre formalen Repräsentationen:

\begin{aligned} r_{1} & = \frac{3}{5} = {[(3, 5)]}_{\sim} \\ r_{2} & = \frac{9}{10} = {[(9, 10)]}_{\sim} . \end{aligned}

Für den gesuchten Quotienten ergibt sich:

\begin{aligned} r_{1} ⊘ r_{2} & = \frac{3}{5} ⊘ \frac{9}{10} \\ = {[(3, 5)]}_{\sim} ⊘ {[(9, 10)]}_{\sim} \\ = {[(3 \cdot 10, 5 \cdot 9)]}_{\sim} \\ = {[(30, 45)]}_{\sim} \\ = {[(2, 3)]}_{\sim} \\ = \frac{2}{3} . \end{aligned}

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Eigenschaften

Nichtassoziativität

Die Division von rationalen Zahlen ist nicht assoziativ. Für $r_{1}, r_{2}, r_{3} \in Q$ gilt im Allgemeinen:

(r_{1} ⊘ r_{2}) ⊘ r_{3} \neq r_{1} ⊘ (r_{2} ⊘ r_{3}) .

Der Beweis der Nichtassoziativität der Division von rationalen Zahlen kann mithilfe eines Gegenbeispiels erbracht werden. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$ :

\begin{aligned} r_{1} & = \frac{1}{2} = {[(1, 2)]}_{\sim} \\ r_{2} & = \frac{1}{3} = {[(1, 3)]}_{\sim} \\ r_{3} & = \frac{1}{4} = {[(1, 4)]}_{\sim} . \end{aligned}

Für die Zahlen $r_{1}$ , $r_{2}$ und $r_{3}$ gilt:

\begin{aligned} (r_{1} ⊘ r_{2}) ⊘ r_{3} & = (\frac{1}{2} ⊘ \frac{1}{3}) ⊘ \frac{1}{4} \\ = \underset{= {[(3, 2)]}_{\sim} = \frac{3}{2}}{\underset{⏟}{({[(1, 2)]}_{\sim} ⊘ {[(1, 3)]}_{\sim})}} ⊘ {[(1, 4)]}_{\sim} \\ = {[(12, 2)]}_{\sim} \\ = {[(6, 1)]}_{\sim} \\ = 6 \\ r_{1} ⊘ (r_{2} ⊘ r_{3}) & = \frac{1}{2} ⊘ (\frac{1}{3} ⊘ \frac{1}{4}) \\ = {[(1, 2)]}_{\sim} ⊘ \underset{= {[(4, 3)]}_{\sim} = \frac{4}{3}}{\underset{⏟}{({[(1, 3)]}_{\sim} ⊘ {[(1, 4)]}_{\sim})}} \\ = {[(3, 8)]}_{\sim} \\ = \frac{3}{8} \end{aligned}

Da die Ergebnisse verschieden sind, folgt hieraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Division von rationalen Zahlen.

Nichtkommutativität

Die Division von rationalen Zahlen ist nicht kommutativ. Für $r_{1}, r_{2} \in Q$ gilt im Allgemeinen:

r_{1} ⊘ r_{2} \neq r_{2} ⊘ r_{1} .

Der Beweis der Nichtkommutativität der Division von rationalen Zahlen kann mithilfe eines Gegenbeispiels erbracht werden. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$ :

\begin{aligned} r_{1} & = \frac{1}{2} = {[(1, 2)]}_{\sim} \\ r_{2} & = \frac{1}{3} = {[(1, 3)]}_{\sim} . \end{aligned}

Für die Zahlen $r_{1}$ und $r_{2}$ gilt:

\begin{aligned} r_{1} ⊘ r_{2} & = \frac{1}{2} ⊘ \frac{1}{3} \\ = {[(1, 2)]}_{\sim} ⊘ {[(1, 3)]}_{\sim} \\ = {[(3, 2)]}_{\sim} \\ = \frac{3}{2} \\ r_{2} ⊘ r_{1} & = \frac{1}{3} ⊘ \frac{1}{2} \\ = {[(1, 3)]}_{\sim} ⊘ {[(1, 2)]}_{\sim} \\ = {[(2, 3)]}_{\sim} \\ = \frac{2}{3} \end{aligned}

Da die Ergebnisse verschieden sind, folgt hieraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Division von rationalen Zahlen.

Distributivität

Die Division von rationalen Zahlen ist rechtsdistributiv über der rationalen Addition und der rationalen Subtraktion. Für $r_{1}, r_{2}, r_{3} \in Q$ gilt:

(r_{1} \pm r_{2}) ⊘ r_{3} = r_{1} ⊘ r_{3} \pm r_{2} ⊘ r_{3} .

Der Beweis der Rechtsdistributivität der Division von rationalen Zahlen über der Addition und Subtraktion kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$ (mit $a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3} \in Z$ ):

\begin{aligned} r_{1} & = {[(a_{1}, b_{1})]}_{\sim} \\ r_{2} & = {[(a_{2}, b_{2})]}_{\sim} \\ r_{3} & = {[(a_{3}, b_{3})]}_{\sim} . \end{aligned}

Die Rechtsdistributivität kann für den Quotienten aus der Summe bzw. der Differenz $r_{1} \pm r_{2}$ und der rationalen Zahl $r_{3}$ wie folgt gezeigt werden:

\begin{aligned} (r_{1} \pm r_{2}) ⊘ r_{3} & \overset{(1)}{=} ({[(a_{1}, b_{1})]}_{\sim} \pm {[(a_{2}, b_{2})]}_{\sim}) ⊘ {[(a_{3}, b_{3})]}_{\sim} \\ \overset{(2)}{=} ({[(a_{1}, b_{1})]}_{\sim} \pm {[(a_{2}, b_{2})]}_{\sim}) ⊙ {[(b_{3}, a_{3})]}_{\sim} \\ \overset{(3)}{=} {[(a_{1} b_{2} \pm b_{1} a_{2}, b_{1} b_{2})]}_{\sim} ⊙ {[(b_{3}, a_{3})]}_{\sim} \\ \overset{(4)}{=} {[((a_{1} b_{2} \pm b_{1} a_{2}) \cdot b_{3}, b_{1} b_{2} a_{3})]}_{\sim} \\ \overset{(5)}{=} {[(a_{1} b_{2} b_{3} \pm b_{1} a_{2} b_{3}, b_{1} b_{2} a_{3})]}_{\sim} \\ \overset{(6)}{=} {[(a_{1} b_{2} b_{3}, b_{1} b_{2} a_{3})]}_{\sim} \pm {[(b_{1} a_{2} b_{3}, b_{1} b_{2} a_{3})]}_{\sim} \\ \overset{(7)}{=} {[(a_{1} b_{3}, b_{1} a_{3})]}_{\sim} \pm {[(a_{2} b_{3}, b_{2} a_{3})]}_{\sim} \\ \overset{(8)}{=} {[(a_{1}, b_{1})]}_{\sim} ⊙ {[(b_{3}, a_{3})]}_{\sim} \pm {[(a_{2}, b_{2})]}_{\sim} ⊙ {[(b_{3}, a_{3})]}_{\sim} \\ \overset{(9)}{=} {[(a_{1}, b_{1})]}_{\sim} ⊘ {[(a_{3}, b_{3})]}_{\sim} \pm {[(a_{2}, b_{2})]}_{\sim} ⊘ {[(a_{3}, b_{3})]}_{\sim} \\ \overset{(10)}{=} r_{1} ⊘ r_{3} \pm r_{2} ⊘ r_{3} \end{aligned}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der rationalen Zahlen $r_{1}$ , $r_{2}$ und $r_{3}$ durch die entsprechenden Äquivalenzklassen der Relation $\sim$
(2)	Zurückführen der Division auf die Multiplikation mit dem multiplikativen Inversen
(3)	Ausrechnen von $r_{1} \pm r_{2}$ gemäß Definition der Addition bzw. Subtraktion von rationalen Zahlen
(4)	Ausrechnen von $(r_{1} \pm r_{2}) ⊙ r_{3}^{- 1}$ gemäß Definition der Multiplikation von rationalen Zahlen
(5)	Für die ganzzahlige Multiplikation gilt in Kombination mit der ganzzahligen Addition und der ganzzahligen Subtraktion das Distributivgesetz, woraus unmittelbar die Gleichheit von $(a_{1} b_{2} \pm b_{1} a_{2}) \cdot b_{3}$ und $a_{1} b_{2} b_{3} \pm b_{1} a_{2} b_{3}$ folgt
(6)	Aufteilen des Terms auf zwei separate Summanden mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von rationalen Zahlen
(7)	Kürzen von $b_{2}$ im vorderen Term Kürzen von $b_{1}$ im hinteren Term
(8)	Aufteilen des Produkts $r_{1} ⊙ r_{3}^{- 1}$ auf zwei separate Faktoren $r_{1}$ und $r_{3}^{- 1}$ mithilfe der Definition der Multiplikation von rationalen Zahlen Analog: Aufteilen des Produkts $r_{2} ⊙ r_{3}^{- 1}$ auf zwei separate Faktoren $r_{2}$ und $r_{3}^{- 1}$
(9)	Zurückführen der Multiplikation mit dem multiplikativen Inversen auf die Division
(10)	Ersetzen der Äquivalenzklassen der Relation $\sim$ durch die rationalen Zahlen $r_{1}$ , $r_{2}$ und $r_{3}$

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Division von rationalen Zahlen. Die Zahl $1 = {[(1, 1)]}_{\sim}$ ist rechtsneutral, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Das inverse Element einer rationalen Zahl bezüglich der Division von rationalen Zahlen existiert im Allgemeinen nicht.