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Abgeschlossenheit

Bei der Abgeschlossenheit einer Menge bezüglich einer Verknüpfung handelt es sich um die Eigenschaft, dass die Verknüpfung von beliebigen Elementen der Menge in jedem Fall ein Element derselben Menge ergibt.

Definition

Gegeben sei eine innere zweistellige Verknüpfung $⋆ : A \times A \to A$ auf einer Menge $A$ . Man nennt die Menge $A$ abgeschlossen bezüglich $⋆$ , wenn für alle Elemente $a_{1}, a_{2} \in A$ auch deren Verknüpfung in der Menge $A$ enthalten ist:

a_{1} ⋆ a_{2} \in A .

Allgemein: Gegeben sei eine innere $n$ -stellige Verknüpfung $f : A^{n} \to A$ auf einer Menge $A$ . Man nennt die Menge $A$ abgeschlossen bezüglich $f$ , wenn für alle Elemente $a_{1}, \dots, a_{n} \in A$ auch deren Verknüpfung in der Menge $A$ enthalten ist:

f (a_{1}, \dots, a_{n}) \in A .

Beispiele

Beispiele für Abgeschlossenheit

Die Menge $N$ der natürlichen Zahlen ist bezüglich der (natürlichen) Addition $+$ und der (natürlichen) Multiplikation $\cdot$ abgeschlossen.
Die Menge $A = {2 k ∣ k \in Z}$ der geraden ganzen Zahlen ist bezüglich der (ganzzahligen) Addition abgeschlossen.
Eine Untergruppe $(U, ⋆)$ einer Gruppe $(G, ⋆)$ ist bezüglich der Verknüpfung $⋆$ abgeschlossen.
Ein Untervektorraum $U$ eines Vektorraums $V$ ist bezüglich der Vektoraddition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen.

Beispiele für Nicht-Abgeschlossenheit

Die Menge $N$ der natürlichen Zahlen ist bezüglich der (natürlichen) Subtraktion $-$ nicht abgeschlossen.
Die Menge $Z$ der ganzen Zahlen ist bezüglich der (ganzzahligen) Division $:$ nicht abgeschlossen.
Die Menge $A = {2 k + 1 ∣ k \in Z}$ der ungeraden ganzen Zahlen ist bezüglich der Addition nicht abgeschlossen.