Bei der Addition von ganzen Zahlen, auch ganzzahlige Addition genannt, wird die Summe von zwei oder mehr ganzen Zahlen berechnet. Die ganzzahlige Addition wird formal auf der Faktormenge der Äquivalenzrelation definiert, die den ganzen Zahlen zugrunde liegt. Die Addition von ganzen Zahlen ist sowohl assoziativ als auch kommutativ und besitzt ein neutrales Element. Zu jeder ganzen Zahl existiert darüber hinaus ein additives Inverses.
Die Menge $\Z$ der ganzen Zahlen kann mithilfe einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf der Menge von geordneten Paaren natürlicher Zahlen formal definiert werden; es gelte:
Die Äquivalenzklasse $ {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim$ repräsentiert hierbei konzeptuell die ganze Zahl, die sich als Differenz $a-b$ ergibt.
Ganzzahlige Addition
Bei der ganzzahligen Addition handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung auf der Menge $\Z$ der ganzen Zahlen. Sie verknüpft zwei Elemente der Faktormenge der Äquivalenzrelation $\sim$ zu einem neuen Element, das der Summe der beiden ganzen Zahlen entspricht. Es gilt (für $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \N$):
Die ganzzahlige Addition wird formal auf das Rechnen mit natürlichen Zahlen zurückgeführt. Beim Operator $+$ handelt es sich um die gewöhnliche Addition von natürlichen Zahlen.
Hinweis zur Schreibweise: Anstelle des Operators $\oplus$ wird für die ganzzahlige Addition typischerweise ebenfalls der Operator $+$ verwendet. In diesem Artikel wird der Operator $\oplus$ primär verwendet, um die Addition von ganzen Zahlen und die natürliche Addition einfacher unterscheiden zu können.
Beispiele
Beispiel 1: Addition von zwei ganzen Zahlen
Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Summe von zwei ganzen Zahlen berechnet. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre formalen Repräsentationen:
Hinweis: Wie bei assoziativen Verknüpfungen üblich, kann für die ganzzahlige Addition auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.
Der Beweis der Assoziativität der Addition von ganzen Zahlen kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$ (mit $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \N$):
Die Gleichheit $(b_1+b_2)+b_3=b_1+(b_2+b_3)$ gilt analog
(5)
Aufteilen der Summe $n_1 \oplus \bigl(n_2 \oplus n_3\bigr)$ auf zwei separate Summanden mithilfe der Definition der Addition von ganzen Zahlen
(6)
Aufteilen der Summe $n_2 \oplus n_3$ auf zwei separate Summanden mithilfe der Definition der Addition von ganzen Zahlen
(7)
Ersetzen der Äquivalenzklassen der Relation $\sim$ durch die ganzen Zahlen $n_1$, $n_2$ und $n_3$
Kommutativität
Die Addition von ganzen Zahlen ist kommutativ. Für $n_1, n_2 \in \Z$ gilt:
\[ n_1 \oplus n_2 = n_2 \oplus n_1. \]
Der Beweis der Kommutativität der Addition von ganzen Zahlen kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$ (mit $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \N$):
Ersetzen der ganzen Zahlen $n_1$ und $n_2$ durch die entsprechenden Äquivalenzklassen der Relation $\sim$
(2)
Ausrechnen von $n_1 \oplus n_2$ gemäß Definition der Addition von ganzen Zahlen
(3)
Die Gleichheit $a_1+a_2=a_2+a_1$ gilt aufgrund der Kommutativität der natürlichen Addition
Die Gleichheit $b_1+b_2=b_2+b_1$ gilt analog
(4)
Aufteilen der Summe $n_2 \oplus n_1$ auf zwei separate Summanden mithilfe der Definition der Addition von ganzen Zahlen
(5)
Ersetzen der Äquivalenzklassen der Relation $\sim$ durch die ganzen Zahlen $n_1$ und $n_2$
Neutrales Element
Die ganze Zahl $0 = {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim$ ist das neutrale Element der Addition von ganzen Zahlen. Für $n \in \Z$ gilt:
\[ 0 \oplus n = n = n \oplus 0. \]
Der Beweis, dass die Zahl Null das neutrale Element der Addition von ganzen Zahlen ist, kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$ (mit $a,b \in \N$):
\begin{align*} n &= {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] 0 &= {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim. \end{align*}
Die ganze Zahl $0$ ist linksneutral bezüglich der Addition, denn es gilt:
\begin{align*} 0 \oplus n &\overset{(1)}{=} {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim \oplus {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\bigl[(1+a,\ 1+b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} n. \end{align*}
Analog kann gezeigt werden, dass die ganze Zahl $0$ bezüglich der Addition ebenfalls rechtsneutral ist – und somit das neutrale Element der Addition von ganzen Zahlen:
\begin{align*} n \oplus 0 &\overset{(1)}{=} {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \oplus {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\bigl[(a+1,\ b+1)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} n. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
Ersetzen der ganzen Zahlen $n$ und $0$ durch die entsprechenden Äquivalenzklassen der Relation $\sim$
(2)
Ausrechnen von $0 \oplus n$ bzw. $n \oplus 0$ gemäß Definition der Addition von ganzen Zahlen
(3)
Die Gleichheit $ {\bigl[(1+a,1+b)\bigr]}_\sim = {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim$ bzw. $ {\bigl[(a+1,b+1)\bigr]}_\sim={\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim$ gilt aufgrund der Definition der Relation $\sim$, denn es gilt $1+a+b = a+1+b$ bzw. $a+1+b = a+b+1$
Die Gleichheit $1+a+b = a+1+b$ bzw. $a+1+b = a+b+1$ gilt aufgrund der Kommutativität der Addition von natürlichen Zahlen
(4)
Ersetzen der Äquivalenzklasse der Relation $\sim$ durch die ganze Zahl $n$
Hinweis: Werden die ganzen Zahlen mithilfe der Menge $\N_0$ definiert, so kann das additive neutrale Element vereinfachend als $0 = {\bigl[(0,0)\bigr]}_\sim$ dargestellt werden.
Inverses Element
Das inverse Element einer ganzen Zahl $n={[(a,b)]}_\sim$ bezüglich der Addition von ganzen Zahlen ist die ganze Zahl $-n={[(b,a)]}_\sim$; es gilt:
\[ (-n) \oplus n = 0 = n \oplus (-n). \]
Der Beweis, dass die negierte Zahl das inverse Element der Addition von ganzen Zahlen ist, kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$ (mit $a,b \in \N$):
\begin{align*} n &= {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \\[0.5em] -n &= {\bigl[(b,a)\bigr]}_\sim. \end{align*}
Die ganze Zahl $-n$ ist bezüglich der Addition linksinvers zur ganzen Zahl $n$, denn es gilt:
Ersetzen der ganzen Zahlen $n$ und $-n$ durch die entsprechenden Äquivalenzklassen der Relation $\sim$
(2)
Ausrechnen von $(-n) \oplus n$ bzw. $n \oplus (-n)$ gemäß Definition der Addition von ganzen Zahlen
(3)
Die Gleichheit $ {\bigl[(b+a,a+b)\bigr]}_\sim = {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim$ bzw. $ {\bigl[(a+b,b+a)\bigr]}_\sim={\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim$ gilt aufgrund der Definition der Relation $\sim$, denn es gilt $b+a+1 = 1+a+b$ bzw. $a+b+1 = 1+b+a$
Die Gleichheit $b+a+1 = 1+a+b$ bzw. $a+b+1 = 1+b+a$ gilt aufgrund der Kommutativität der natürlichen Addition
(4)
Ersetzen der Äquivalenzklasse $ {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim$ durch die ganze Zahl $0$
Nachweis der Wohldefiniertheit
Für die formale Definition der Addition von ganzen Zahlen ist es notwendig, dass diese wohldefiniert ist, d. h., dass das Ergebnis lediglich von den verknüpften Äquivalenzklassen, aber nicht von den konkreten Repräsentanten der Äquivalenzklassen abhängt.
Gegeben seien natürliche Zahlen $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2,d_1,d_2 \in \N$. Es gelte $(a_1,b_1) \sim (a_2,b_2)$ sowie $(c_1,d_1) \sim (c_2,d_2)$. Gemäß der Definition der Relation $\sim$ gelten somit die folgenden Gleichheiten:
Zum Nachweis der Wohldefiniertheit der Addition von ganzen Zahlen muss gezeigt werden, dass die Summe $(a_1,b_1) \oplus (c_1,d_1)$ unter diesen Voraussetzungen äquivalent zur Summe $(a_2,b_2) \oplus (c_2,d_2)$ ist, dass also
Umsortieren der Summanden mithilfe der Kommutativität der natürlichen Addition
(2)
Ersetzen von $a_1+b_2 = a_2+b_1$ gemäß Gleichung (I)
Ersetzen von $c_1+d_2 = c_2+d_1$ gemäß Gleichung (II)
(3)
Umsortieren der Summanden mithilfe der Kommutativität der Addition von natürlichen Zahlen
Gemäß der Definition der Relation $\sim$ folgt aus (3) unmittelbar $(a_1+c_1,\ b_1+d_1) \sim (a_2+c_2,\ b_2+d_2)$ und somit die Wohldefiniertheit der ganzzahligen Addition.
