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Division von ganzen Zahlen

Im Allgemeinen handelt es sich bei der Division von ganzen Zahlen, auch ganzzahlige Division genannt, um eine Zerlegung mit Rest, die einen ganzzahligen Teiler sowie einen Rest liefert, der nicht als Vielfaches des Divisors darstellt werden kann. Handelt es sich beim Dividenden um ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors, so ist eine Division ohne Rest möglich. Die Division von ganzen Zahlen ist weder assoziativ noch kommutativ und besitzt kein neutrales Element.

Definition

Ganzzahlige Division (Zerlegung mit Rest)

Gegeben seien zwei ganze Zahlen $a,b \in \Z$. Für die Zahlen $a$ und $b$ mit $b \neq 0$ existieren stets zwei ganze Zahlen $q,r \in \Z$ mit $0 \leq r \lt b$, sodass eine Zerlegung mit Rest

\[ a = q \cdot b + r \]

existiert:

  • Die ganze Zahl $q$ beschreibt den ganzzahligen Teiler bzw. Quotienten.
  • Bei der ganzen Zahl $r$ handelt es sich um den Rest, der nicht als Vielfaches des Divisors $b$ dargestellt werden kann.

Hinweis: Handelt es sich beim Dividenden $a$ um ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors $b$, so ist eine Division ohne Rest möglich.

Beispiele

Beispiel 1: Division ohne Rest

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei ganzen Zahlen berechnet, die Vielfache voneinander sind. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen:

\begin{align*} n_1 &= 6 \\[0.5em] n_2 &= 3. \end{align*}

Da es sich bei $n_1=6$ um ein ganzzahliges Vielfaches von $n_2=3$ handelt, ist eine Division ohne Rest möglich. Für den Quotienten $n_1 : n_2$ ergibt sich:

\begin{align*} n_1 : n_2 &= 6 : 3 \\[0.5em] &= 2. \end{align*}

Beispiel 2: Zerlegung mit Rest

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei ganzen Zahlen berechnet, die keine Vielfachen voneinander sind. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen:

\begin{align*} n_1 &= 107 \\[0.5em] n_2 &= 42. \end{align*}

Da es sich bei $n_1=107$ nicht um ein ganzzahliges Vielfaches von $n_2=42$ handelt, ist eine Division ohne Rest nicht möglich. Für die Zahlen $n_1$ und $n_2$ ergibt sich die folgende Zerlegung mit Rest:

\begin{align*} n_1 &= q \cdot n_2 + r \\[0.5em] 107 &= 2 \cdot 42 + 23. \end{align*}

Eigenschaften

Nichtassoziativität

Die Division von ganzen Zahlen ist nicht assoziativ. Für $n_1,n_2,n_3 \in \Z$ gilt im Allgemeinen:

\[ \bigl( n_1 : n_2 \bigr) : n_3 \neq n_1 : \bigl( n_2 : n_3 \bigr). \]

Der Beweis der Nichtassoziativität der Division von ganzen Zahlen kann mithilfe eines Gegenbeispiels erbracht werden. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen:

\begin{align*} n_1 &= 8 \\[0.5em] n_2 &= 4 \\[0.5em] n_3 &= 2. \end{align*}

Für die ganzen Zahlen $n_1$, $n_2$ und $n_3$ gilt

\begin{align*} \bigl( n_1 : n_2 \bigr) : n_3 &= \underbrace{\bigl( 8 : 4 \bigr)}_{=2} : 2 \\[0.5em] &= 1 \\[1.5em] n_1 : \bigl( n_2 : n_3 \bigr) &= 8 : \underbrace{\bigl( 4 : 2 \bigr)}_{=2} \\[0.5em] &= 4. \end{align*}

Da die Ergebnisse verschieden sind, folgt hieraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Subtraktion von ganzen Zahlen.

Hinweis: Sind die beteiligten Divisionen nicht ohne Rest möglich, so ist die Verkettung der Divisionen nicht möglich.

Nichtkommutativität

Die Division von ganzen Zahlen ist nicht kommutativ. Für $n_1,n_2 \in \Z$ gilt im Allgemeinen:

\[ n_1 : n_2 \neq n_2 : n_1. \]

Der Beweis der Nichtkommutativität der Division von ganzen Zahlen kann mithilfe eines Gegenbeispiels erbracht werden. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen:

\begin{align*} n_1 &= 2 \\[0.5em] n_2 &= 1. \end{align*}

Für die ganzen Zahlen $n_1$ und $n_2$ gilt:

\begin{align*} n_1 : n_2 &= 2 : 1 \\[0.5em] &= 2 \\[1.5em] n_2 : n_1 &= 1 : 2 \\[0.5em] &= 0 \text{ Rest: } 1. \end{align*}

Da die Ergebnisse verschieden sind, folgt hieraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Subtraktion von ganzen Zahlen.

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Division von ganzen Zahlen. Die ganze Zahl $1$ ist rechtsneutral, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Das inverse Element einer ganzen Zahl $n$ bezüglich der Division von ganzen Zahlen existiert im Allgemeinen nicht.