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Subtraktion von ganzen Zahlen

Bei der Subtraktion von ganzen Zahlen, auch ganzzahlige Subtraktion genannt, wird die Differenz von zwei ganzen Zahlen berechnet. Die ganzzahlige Subtraktion wird formal auf der Faktormenge der Äquivalenzrelation definiert, die den ganzen Zahlen zugrunde liegt. Die Subtraktion von ganzen Zahlen ist weder assoziativ noch kommutativ und besitzt kein neutrales Element.

Definition

Ganze Zahlen

Hauptartikel: Ganze Zahlen

Die Menge $\Z$ der ganzen Zahlen kann mithilfe einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf der Menge von geordneten Paaren natürlicher Zahlen formal definiert werden; es gelte:

\[ \forall a,b,c,d \in \N:\ \bigl(a,b\bigr) \sim \bigl(c,d\bigr) \Leftrightarrow a+d = c+b. \]

Bei der Menge der ganzen Zahlen handelt es sich um die Faktormenge (die Menge der Äquivalenzklassen) der Relation $\sim$; es gilt:

\[ \Z = {\N \times \N} \mathop{/} \sim{} = \Bigl\{ {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim \mid a,b \in \N \Bigr\}. \]

Die Äquivalenzklasse $ {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim$ repräsentiert hierbei konzeptuell die ganze Zahl, die sich als Differenz $a-b$ ergibt.

Ganzzahlige Subtraktion

Bei der ganzzahligen Subtraktion handelt es sich um eine innere zweistellige Verknüpfung auf der Menge $\Z$ der ganzen Zahlen. Sie verknüpft zwei Elemente der Faktormenge der Äquivalenzrelation $\sim$ zu einem neuen Element, das der Differenz der beiden ganzen Zahlen entspricht. Es gilt (für $a_1,a_2,b_1,b_2 \in \N$):

\[ \begin{array}{c} \ominus: \Z \times \Z \rightarrow \Z \\[0.5em] {\bigl[(a_1,b_1)\bigr]}_\sim \ominus {\bigl[(a_2,b_2)\bigr]}_\sim = {\bigl[(a_1+b_2,\ b_1+a_2)\bigr]}_\sim. \end{array} \]

Die ganzzahlige Subtraktion wird formal auf das Rechnen mit natürlichen Zahlen zurückgeführt. Beim Operator $+$ handelt es sich um die gewöhnliche Addition von natürlichen Zahlen.

Hinweis: Die Subtraktion von ganzen Zahlen kann, wie in Ringen üblich, alternativ auch auf die (ganzzahlige) Addition des additiven Inversen des Subtrahenden zurückgeführt werden.

Hinweis zur Schreibweise: Anstelle des Operators $\ominus$ wird für die ganzzahlige Subtraktion typischerweise ebenfalls der Operator $-$ verwendet.

Beispiele

Beispiel 1: Subtraktion von zwei ganzen Zahlen

Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Differenz von zwei ganzen Zahlen berechnet. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre formalen Repräsentationen:

\begin{align*} n_1 &= 5 = {\bigl[ (6,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] n_2 &= 3 = {\bigl[ (4,1) \bigr]}_\sim. \end{align*}

Für die Differenz $n_1 \ominus n_2$ ergibt sich somit:

\begin{align*} n_1 \ominus n_2 &= 5 \ominus 3 \\[0.5em] &= {\bigl[ (6,1) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (4,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (6+1,\ 1+4) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (7,5) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= 2. \end{align*}

Beispiel 2: Subtraktion von zwei ganzen Zahlen

Im zweiten Beispiel wird die Differenz von zwei ganzen Zahlen berechnet. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre formalen Repräsentationen:

\begin{align*} n_1 &= 2 = {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] n_2 &= 8 = {\bigl[ (9,1) \bigr]}_\sim. \end{align*}

Für die Differenz $n_1 \ominus n_2$ ergibt sich somit:

\begin{align*} n_1 \ominus n_2 &= 2 \ominus 8 \\[0.5em] &= {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (9,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (3+1,\ 1+9) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (4,10) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= -6. \end{align*}

Eigenschaften

Nichtassoziativität

Die Subtraktion von ganzen Zahlen ist nicht assoziativ. Für $n_1,n_2,n_3 \in \Z$ gilt im Allgemeinen:

\[ \bigl( n_1 \ominus n_2 \bigr) \ominus n_3 \neq n_1 \ominus \bigl( n_2 \ominus n_3 \bigr). \]

Der Beweis der Nichtassoziativität der Subtraktion von ganzen Zahlen kann mithilfe eines Gegenbeispiels erbracht werden. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$:

\begin{align*} n_1 &= 1 = {\bigl[ (2,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] n_2 &= 2 = {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] n_3 &= 3 = {\bigl[ (4,1) \bigr]}_\sim. \end{align*}

Für die Zahlen $n_1$, $n_2$ und $n_3$ gilt:

\begin{align*} \bigl( n_1 \ominus n_2 \bigr) \ominus n_3 &= \bigl( 1 \ominus 2 \bigr) \ominus 3 \\[0.5em] &= \underbrace{\Bigl( {\bigl[ (2,1) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \Bigr)}_{= {\bigl[ (3,4) \bigr]}_\sim = -1} \ominus {\bigl[ (4,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (4,8) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= -4 \\[1.5em] n_1 \ominus \bigl( n_2 \ominus n_3 \bigr) &= 1 \ominus \bigl( 2 \ominus 3 \bigr) \\[0.5em] &= {\bigl[ (2,1) \bigr]}_\sim \ominus \underbrace{\Bigl( {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (4,1) \bigr]}_\sim \Bigr)}_{= {\bigl[ (4,5) \bigr]}_\sim = -1} \\[0.5em] &= {\bigl[ (7,5) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= 2. \end{align*}

Da die Ergebnisse verschieden sind, folgt hieraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Subtraktion von ganzen Zahlen.

Nichtkommutativität

Die Subtraktion von ganzen Zahlen ist nicht kommutativ. Für $n_1,n_2 \in \Z$ gilt im Allgemeinen:

\[ n_1 \ominus n_2 \neq n_2 \ominus n_1. \]

Der Beweis der Nichtkommutativität der Subtraktion von ganzen Zahlen kann mithilfe eines Gegenbeispiels erbracht werden. Gegeben seien die folgenden ganzen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$:

\begin{align*} n_1 &= 1 = {\bigl[ (2,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] n_2 &= 2 = {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim. \end{align*}

Für die Zahlen $n_1$ und $n_2$ gilt:

\begin{align*} n_1 \ominus n_2 &= 1 \ominus 2 \\[0.5em] &= {\bigl[ (2,1) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (3,4) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= -1 \\[1.5em] n_2 \ominus n_1 &= 2 \ominus 1 \\[0.5em] &= {\bigl[ (3,1) \bigr]}_\sim \ominus {\bigl[ (2,1) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= {\bigl[ (4,3) \bigr]}_\sim \\[0.5em] &= 1. \end{align*}

Da die Ergebnisse verschieden sind, folgt hieraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Subtraktion von ganzen Zahlen.

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Subtraktion von ganzen Zahlen. Die ganze Zahl $0 = {\bigl[ (1,1) \bigr]}_\sim$ ist rechtsneutral, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Das inverse Element einer ganzen Zahl bezüglich der Subtraktion von ganzen Zahlen existiert im Allgemeinen nicht.