Symmetrische Relation (Symmetrie)

Definition

Sei $A$ eine Menge und $R \subseteq A \times A$ eine auf dieser Menge definierte binäre Relation. Die Relation $R$ heißt symmetrisch, falls die folgende Eigenschaft gilt:

In Worten: Eine Relation ist genau dann symmetrisch, wenn für alle Elemente der zugrundeliegenden Menge gilt: Steht ein Element $a$ in Relation mit einem Element $b$, so steht stets auch $b$ in Relation mit $a$. Wird der zur Relation gehörende gerichtete Graph betrachtet, so gibt es zu jeder Kante folglich immer auch die entgegengesetzte Kante. Schlingen von einem Element zu sich selbst erfüllen diese Bedingung implizit.

Diese Eigenschaft wird auch als Symmetrie bezeichnet. Ist die Symmetriebedingung verletzt, so ist die Relation nicht symmetrisch.

Hinweis: Eine Relation ist symmetrisch, solange die Symmetriebedingung nicht explizit verletzt ist. Es ist insbesondere nicht notwendig, dass tatsächlich Elemente $a$ und $b$ existieren, für die $(a,b) \in R$ gilt.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_1$ mit

Die Relation $R_1$ ist symmetrisch, da für alle Elemente $x,y \in A$ stets gilt: Aus $(x,y) \in R_1$ folgt $(y,x) \in R_1$.

Beispiel 2

Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_2$ mit

Die Relation $R_2$ ist nicht symmetrisch, da die Symmetriebedingung verletzt ist:

• Es gilt $(a,b) \in R_2$, aber $(b,a) \notin R_2$.
• Es gilt $(c,b) \in R_2$, aber $(b,c) \notin R_2$.

Beispiel 3

Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_3$ mit

Die Relation $R_3$ ist symmetrisch, da für alle Elemente $x,y \in A$ stets gilt: Aus $(x,y) \in R_3$ folgt $(y,x) \in R_3$.

Beispiel 4

Gegeben sei die Menge $A = \bigl\{ a,b,c,d \bigr\}$ sowie eine auf dieser Menge definierte zweistellige Relation $R_4$ mit

Die Relation $R_4$ ist symmetrisch, da für alle Elemente $x,y \in A$ stets gilt: Aus $(x,y) \in R_4$ folgt $(y,x) \in R_4$. Da die Relation $R_4$ keine Elemente enthält, existieren insbesondere auch keine Verletzungen der Symmetriebedingung.

Beispiele in der Mathematik

Gleichheit von Zahlen

Bei der Gleichheit $=$ von natürlichen, ganzen, rationalen, reellen oder komplexen Zahlen handelt es sich um symmetrische Relationen. Dasselbe gilt für die Ungleichheit $\neq$. Bei der Gleichheit $=$ handelt es sich sogar um eine Äquivalenzrelation.

Ähnlichkeit von Dreiecken

Ist ein Dreieck $ABC$ ähnlich zu einem Dreieck $DEF$, so ist umgekehrt auch das Dreieck $DEF$ ähnlich zum Dreieck $ABC$. Bei der Ähnlichkeit von Dreiecken handelt es sich somit um eine symmetrische Relation – und sogar um eine Äquivalenzrelation.

Kongruenz modulo m

Zwei ganze Zahlen $a$ und $b$ heißen kongruent modulo $m$, wenn sie bei Division durch $m$ denselben Rest lassen. Die Kongruenzrelation ist symmetrisch und sogar eine Äquivalenzrelation.

Eigenschaften

Für symmetrische Relationen bzw. Symmetrie gelten unter anderem die folgenden Eigenschaften:

• Eine Relation $R$ ist genau dann symmetrisch, wenn sie mit ihrer Umkehrrelation $R^{-1}$ übereinstimmt.
  \[ R = R^{-1} \]
• Eine Relation $R$ ist symmetrisch, wenn ihre komplementäre Relation $R^c$ symmetrisch ist.
• Sind $R$ und $S$ symmetrische Relationen, so sind auch ihr Schnitt $R \cap S$ und ihre Vereinigung $R \cup S$ symmetrische Relationen. Die Aussage gilt analog für den Schnitt und Vereinigung von mehr als zwei Relationen.
• Die kleinste symmetrische Relation $S$, die eine gegebene Relation $R$ vollständig enthält, wird symmetrische Hülle genannt. Sie lässt sich leicht durch Vereinigung mit der inversen Relation $R^{-1}$ finden.
  \[ S = R \cup R^{-1} \]
• Eine Relation ist genau dann symmetrisch, wenn die ihrem gerichteten Graphen zugrundeliegende Adjazenzmatrix symmetrisch (zur Hauptdiagonalen) ist.