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Lineare Unabhängigkeit

Eine Menge von Vektoren heißt linear unabhängig, wenn es nicht möglich ist, einen der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren darzustellen; andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig.

Definition

Gegeben sei ein Vektorraum $V$ über einem Körper $K$ . Die Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ heißen

linear abhängig, wenn neben der trivialen Lösung $λ_{1} = \dots = λ_{n} = 0_{K}$ noch mindestens eine weitere Lösung für die Gleichung $λ_{1} \cdot v_{1} + \dots + λ_{n} \cdot v_{n} = 0_{V}$ existiert. In diesem Fall besitzen nicht alle Skalare $λ_{i}$ den Wert $0_{K}$ . Gilt beispielsweise $λ_{1} \neq 0_{K}$ , so kann durch Umstellen der Gleichung eine Linearkombination für den Vektor $v_{1}$ gefunden werden: $v_{1} = - \frac{λ_{2}}{λ_{1}} \cdot v_{2} - \dots - \frac{λ_{n}}{λ_{1}} \cdot v_{n} .$
linear unabhängig, wenn neben der trivialen Lösung $λ_{1} = \dots = λ_{n} = 0_{K}$ keine weiteren Lösungen für die Gleichung $λ_{1} \cdot v_{1} + \dots + λ_{n} \cdot v_{n} = 0_{V}$ existieren. In diesem Fall ist es nicht möglich, einen der Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ als Linearkombination der anderen Vektoren darzustellen.

Eigenschaften

Es gelten die folgenden Eigenschaften:

Sind die Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ linear unabhängig und die Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}, w \in V$ linear abhängig, so lässt sich der Vektor $w$ als Linearkombination von $v_{1}, \dots, v_{n}$ darstellen.
Ist eine Menge von Vektoren linear unabhängig, so ist jede Teilmenge dieser Vektoren ebenfalls linear unabhängig.
Ist eine Menge von Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ linear abhängig, so ist jede Menge von Vektoren, die $v_{1}, \dots, v_{n}$ enthält, ebenfalls linear abhängig.
Elementare Umformungen von Vektoren verändern nicht die lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit.
Ist einer der Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ der Nullvektor $0_{V}$ , so sind die Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ linear abhängig.
In einem $n$ -dimensionalen Vektorraum ist eine Menge von mehr als $n$ Vektoren stets linear abhängig. Dies folgt aus der Eigenschaft, dass jede Basis eines $n$ -dimensionalen Vektorraums immer aus exakt $n$ linear unabhängigen Vektoren besteht, die den kompletten Vektorraum aufspannen. Jeder weitere Vektor kann dann als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die folgenden Vektoren des $R^{3}$ :

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}), v_{3} = (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ - 7 \end{matrix}) .

Zum Überprüfen der linearen Unabhängigkeit muss das folgende, in Vektorform vorliegende lineare Gleichungssystem gelöst werden:

λ_{1} \cdot v_{1} + λ_{2} \cdot v_{2} + λ_{3} \cdot v_{3} = 0.

Zum Lösen mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren wird zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt und diese anschließend in Zeilenstufenform überführt:

\begin{array}{rrrrl} 1 & - 1 & 2 & 0 \\ - 1 & 2 & - 5 & 0 & II + I \\ - 1 & 3 & - 7 & 0 & III + I \\ 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 2 & - 5 & 0 & III - 2 \cdot II \\ 1 & - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden:

\begin{aligned} λ_{3} & = 0 \\ λ_{2} & = 0 + 3 λ_{3} \\ = 0 + 3 \cdot 0 \\ = 0 \\ λ_{1} & = 0 + λ_{2} - 2 λ_{3} \\ = 0 + 0 - 2 \cdot 0 \\ = 0. \end{aligned}

Als einzige Lösung dieses Gleichungssystems ergibt sich somit $λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0$ , woraus unmittelbar die lineare Unabhängigkeit der Vektoren $v_{1}$ , $v_{2}$ und $v_{3}$ folgt.

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Beispiel 2

Gegeben seien die folgenden Vektoren des $R^{3}$ :

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}), v_{3} = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 8 \end{matrix}) .

Die Vektoren $v_{1}$ , $v_{2}$ und $v_{3}$ sind linear abhängig, da beispielsweise der Vektor $v_{3}$ als Linearkombination der Vektoren $v_{1}$ und $v_{2}$ dargestellt werden kann. Es gilt:

v_{3} = 3 \cdot v_{1} + 2 \cdot v_{2} .

Beispiel 3

Gegeben seien die folgenden Vektoren des $R^{2}$ :

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix}), v_{3} = (\begin{matrix} 3 \\ - 1 \end{matrix}) .

Die Vektoren $v_{1}$ , $v_{2}$ und $v_{3}$ sind linear abhängig, da drei Vektoren eines zweidimensionalen Vektorraums stets linear abhängig sind. Allgemein sind $n + 1$ Vektoren eines $n$ -dimensionalen Vektorraums stets linear abhängig.

Beispiel 4

Gegeben seien die folgenden Polynome mit reellen Koeffizienten:

\begin{aligned} p_{1} (x) & = x^{2} - x - 1 \\ p_{2} (x) & = - x^{2} + 2 x + 3 \\ p_{3} (x) & = 2 x^{2} - 5 x - 7. \end{aligned}

Die Überprüfung auf lineare Unabhängigkeit kann mithilfe der Isomorphie des Polynomraums aller reellen Polynome mit Maximalgrad 2 und des Koordinatenraums $R^{3}$ durchgeführt werden, indem zunächst alle Polynome durch die entsprechenden Vektoren dargestellt werden – das Polynom $a x^{2} + b x + c$ kann beispielsweise durch den Vektor $(a, b, c)$ repräsentiert werden. Anschließend kann die Frage der linearen Unabhängigkeit für die so erhaltenen Vektoren geprüft werden. Für die Polynome $p_{1} (x)$ , $p_{2} (x)$ und $p_{3} (x)$ ergeben sich die folgenden Vektoren:

v_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}), v_{2} = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}), v_{3} = (\begin{matrix} 2 \\ - 5 \\ - 7 \end{matrix}) .

Hierbei handelt es sich um die linear unabhängigen Vektoren aus Beispiel 1. Die Polynome $p_{1} (x)$ , $p_{2} (x)$ und $p_{3} (x)$ sind folglich ebenfalls linear unabhängig.

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Zusammenhang mit Determinanten

Gegeben seien $n$ Vektoren aus einem $n$ -dimensionalen Vektorraum. Verwendet man diese Vektoren als Zeilen oder Spalten einer $n \times n$ Matrix $A$ , so kann die lineare Unabhängigkeit mithilfe der Determinante geprüft werden:

Die Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn $det (A) = 0$ gilt.
Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn $det (A) \neq 0$ gilt.

Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem $A \cdot x = b$ mit der Koeffizientenmatrix $A \in K^{n \times n}$ und dem Lösungsvektor $b \in K^{n}$ . Betrachtet man dieses Gleichungssystem in Vektorschreibweise

\underset{A}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} a_{11} & \dots & a_{1 n} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & \dots & a_{n n} \end{matrix}]}} \cdot \underset{x}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} x_{1} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]}} = \underset{s_{1}}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} a_{11} \\ ⋮ \\ a_{n 1} \end{matrix}]}} x_{1} + \dots + \underset{s_{n}}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{n n} \end{matrix}]}} x_{n} = \underset{b}{\underset{⏟}{[\begin{matrix} b_{1} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}]}},

so kann der Lösungsvektor $b$ als Linearkombination der Spaltenvektoren $s_{1}, \dots, s_{n}$ der Koeffizientenmatrix $A$ aufgefasst werden.

Da die Skalare in einer Linearkombination genau dann eindeutig bestimmt sind, wenn die Vektoren linear unabhängig sind, ist das Gleichungssystem $A \cdot x = b$ folglich genau dann eindeutig lösbar, wenn die Spaltenvektoren $s_{1}, \dots, s_{n}$ linear unabhängig sind.