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Aufgaben

Aufgaben zur linearen Unabhängigkeit

Artikel zum Nachlesen: Lineare Unabhängigkeit

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineare Unabhängigkeit erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Gegeben seien die folgenden Vektoren mit Einträgen aus \(\Q\):

\[v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\quad v_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}\quad v_{3} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}\]

Entscheide, ob die Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

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Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Gib zunächst die Anzahl der zu überprüfenden Vektoren, deren Dimension sowie den Zahlenbereich an, aus dem die Einträge der Vektoren stammen sollen.

Gib die Vektoren ein, die auf lineare Unabhängigkeit überprüft werden sollen.

\(v_1=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(v_2=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(v_3=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Um zu entscheiden, ob die Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) linear abhängig oder linear unabhängig sind, muss das folgende lineare Gleichungssystem gelöst werden.

\[ \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \lambda_3v_3 = 0\]

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 3 & 0 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrr|r|l}
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
1 & 1 & 1 & 0 & \text{II} - \text{I} \\[0.25em]
0 & -2 & 3 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & -2 & 3 & 0 & \text{III} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\[\begin{align*}
\lambda_3 &= 0 \\[1em]
\lambda_2 &= 0+\lambda_3 \\[0.5em]
&= 0+0 \\[0.5em]
&= 0 \\[1em]
\lambda_1 &= 0-2\lambda_3 \\[0.5em]
&= 0-2 \cdot 0 \\[0.5em]
&= 0
\end{align*}\]

Da nur die triviale Lösung \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0\) für das Gleichungssystem existiert, sind die Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) linear unabhängig.