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Aufgaben

Aufgaben zur linearen Unabhängigkeit von Polynomen

Artikel zum Nachlesen: Lineare Unabhängigkeit

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineare Unabhängigkeit von Polynomen erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Gegeben seien die folgenden Polynome mit Koeffizienten aus \(\Q\):

\[\begin{align*}
p_{1}(x) &= x^2 + x \\[0.5em]
p_{2}(x) &= x - 2 \\[0.5em]
p_{3}(x) &= 2x^2 + x + 3
\end{align*}\]

Entscheide, ob die Polynome linear abhängig oder linear unabhängig sind.

Aufgabengenerator

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Eigene Aufgabe

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Gib zunächst die Anzahl der zu überprüfenden Polynome sowie den Zahlenbereich an, aus dem die Koeffizienten der Polynome stammen sollen.

Gib die Polynome ein, die auf lineare Unabhängigkeit überprüft werden sollen.

\(p_1=\)
\(0\)
\(p_2=\)
\(0\)
\(p_3=\)
\(0\)

Aufgabe lösen

Musterlösung (Polynome)

Musterlösung mit Polynomen

Um zu entscheiden, ob die Polynome \(p_1,p_2,p_3\) linear abhängig oder linear unabhängig sind, muss die nachfolgende Gleichung gelöst werden.

\[ \lambda_1p_1(x) + \lambda_2p_2(x) + \lambda_3p_3(x) = 0\]

Zunächst werden die Polynome \(p_1,p_2,p_3\) in die Gleichung eingesetzt und der resultierende Gesamtausdruck anschließend nach Potenzen gruppiert.

\[\begin{align*}
0 &=
x^{2} \cdot \left( \lambda_1+2\lambda_3 \right) \\
&+ x^{1} \cdot \left( \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 \right) \\
&+ x^{0} \cdot \left( -2\lambda_2+3\lambda_3 \right)\end{align*}\]

Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn ihre Koeffizienten übereinstimmen. Aus der vorausgehenden Gleichung ergibt sich dementsprechend das nachfolgende lineare Gleichungssystem, mit dessen Hilfe die gesuchten Parameter \(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\) berechnet werden können.

\[\begin{align*}
\begin{alignedat}{4}
\lambda_1 &\ &\ &\ + &\ 2\lambda_3 &\ = &\ 0 \\[0.5em]
\lambda_1 &\ + &\ \lambda_2 &\ + &\ \lambda_3 &\ = &\ 0 \\[0.5em]
&\ - &\ 2\lambda_2 &\ + &\ 3\lambda_3 &\ = &\ 0
\end{alignedat}
\end{align*}\]

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 3 & 0 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrr|r|l}
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
1 & 1 & 1 & 0 & \text{II} - \text{I} \\[0.25em]
0 & -2 & 3 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & -2 & 3 & 0 & \text{III} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\[\begin{align*}
\lambda_3 &= 0 \\[1em]
\lambda_2 &= 0+\lambda_3 \\[0.5em]
&= 0+0 \\[0.5em]
&= 0 \\[1em]
\lambda_1 &= 0-2\lambda_3 \\[0.5em]
&= 0-2 \cdot 0 \\[0.5em]
&= 0
\end{align*}\]

Da nur die triviale Lösung \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0\) für das Gleichungssystem existiert, sind die Polynome \(p_1,p_2,p_3\) linear unabhängig.

Musterlösung (Vektoren)

Musterlösung mit Vektoren

Um zu entscheiden, ob die Polynome \(p_1,p_2,p_3\) linear abhängig oder linear unabhängig sind, muss die nachfolgende Gleichung gelöst werden.

\[ \lambda_1p_1(x) + \lambda_2p_2(x) + \lambda_3p_3(x) = 0\]

Die Polynome \(p_1,p_2,p_3\) können durch Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) repräsentiert werden, deren Einträge den Koeffizienten der Polynome entsprechen.

\[v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad v_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix} \quad v_{3} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}\]

Anschließend kann anstelle der ursprünglichen Polynomgleichung die folgende Vektorgleichung gelöst werden, bei der es sich um ein lineares Gleichungssystem handelt.

\[ \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + \lambda_3v_3 = 0\]

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rrr|r}1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 3 & 0 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rrr|r|l}
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
1 & 1 & 1 & 0 & \text{II} - \text{I} \\[0.25em]
0 & -2 & 3 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & -2 & 3 & 0 & \text{III} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 2 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 0 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden.

\[\begin{align*}
\lambda_3 &= 0 \\[1em]
\lambda_2 &= 0+\lambda_3 \\[0.5em]
&= 0+0 \\[0.5em]
&= 0 \\[1em]
\lambda_1 &= 0-2\lambda_3 \\[0.5em]
&= 0-2 \cdot 0 \\[0.5em]
&= 0
\end{align*}\]

Da nur die triviale Lösung \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0\) für das Gleichungssystem existiert, sind die Polynome \(p_1,p_2,p_3\) linear unabhängig.