Logarithmusgesetz III: Logarithmus einer Wurzel

Bei Logarithmusgesetz III handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Logarithmus einer Wurzel berechnet werden kann.

Definition

Der Logarithmus der $n$-ten Wurzel einer reellen Zahl $x\in \mathbb{R}$ kann berechnet werden, indem der Kehrwert des Wurzelexponenten als Faktor vor den Logarithmus gezogen wird. Es gilt:

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

• für reelle Zahlen $x\in \mathbb{R}$ mit $x>0$, natürliche Zahlen $n\in \mathbb{N}$ und positive reelle Basen $b\in \mathbb{R}$ mit $b>0$ und $b\ne 1$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus einer Wurzel bestimmt.

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus einer Wurzel mit ganzen Zahlen bestimmt.

Beweis

Das Logarithmusgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $x\in \mathbb{R}$ mit $x>0$, eine natürliche Zahl $n\in \mathbb{N}$ sowie eine reelle Zahl $b\in \mathbb{R}$ mit $b>0$ und $b\ne 1$. Es gilt: