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Kosinus hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Kosinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: cosh) kann direkt aus der Definition der Kosinus-hyperbolicus-Funktion hergeleitet werden, da diese lediglich aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Kosinus-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mithilfe der (natürlichen) Exponentialfunktion dargestellt werden:

\[ \cosh(x) = \frac{1}{2} \cdot \Bigl( e^x + e^{-x} \Bigr) \]

Ableitungsregel

Die Ableitung der Kosinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: cosh) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \cosh(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \cosh(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \sinh(x) \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Kosinus-hyperbolicus-Funktion erfolgt unmittelbar auf Grundlage der Eigenschaft, dass die Kosinus-hyperbolicus-Funktion aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist, für die bereits alle notwendigen Ableitungsregeln bekannt sind. Für die Herleitung der gesuchten Ableitungsregel werden unter anderem die Ableitungsregel der Exponentialfunktion sowie die Kettenregel und die Summenregel benötigt. Der erhaltene Term kann anschließend zusammengefasst werden. Es gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \cosh(x) \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \cdot \left( e^x + e^{-x} \right) \right] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{2} \cdot \left( e^x + e^{-x} \cdot \frac{d}{dx} \bigl[-x\bigr] \right) \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{2} \cdot \left( e^x - e^{-x} \right)\\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \sinh(x) \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
(4)

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Kosinus-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \cosh(5x) \]

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \cosh(5x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \sinh(5x) \cdot {\Bigl[ 5x \Bigr]}' \\[0.75em] &= \sinh(5x) \cdot 5 \\[0.75em] &= 5 \cdot \sinh(5x) \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Kosinus-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \cosh\left( x^2 \right) \]

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \cosh\left( x^2 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \sinh\left( x^2 \right) \cdot {\Bigl[ x^2 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \sinh\left( x^2 \right) \cdot 2x \\[0.75em] &= 2 \cdot \sinh\left( x^2 \right) \cdot x \end{align*}