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Sinus hyperbolicus (Funktion)

Die Sinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: sinh), manchmal auch Hyperbelsinus genannt, gehört zu den hyperbolischen Funktionen. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet. Die zugehörige Umkehrfunktion ist die Areasinus-hyperbolicus-Funktion.

Definition

Die Sinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: sinh) gehört zu den hyperbolischen Funktionen und kann für alle reellen Zahlen $x \in R$ mithilfe der Exponentialfunktion dargestellt werden:

\sinh (x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x})

Bei Sinus hyperbolicus handelt es sich um den ungeraden Anteil der Exponentialfunktion, für die zusammen mit Kosinus hyperbolicus der folgende Zusammenhang gilt:

e^{x} = \sinh (x) + \cosh (x)

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Sinus-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$- \infty < x < \infty$
Wertebereich	$- \infty < \sinh (x) < \infty$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton steigend
Krümmung	konkav für $x \leq 0$ konvex für $x \geq 0$
Symmetrien	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$f (x) \to - \frac{1}{2} e^{- x}$ für $x \to - \infty$ $f (x) \to \frac{1}{2} e^{x}$ für $x \to \infty$
Nullstellen	$x_{0} = 0$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extremstellen	keine
Wendepunkte	$x_{0} = 0$

Ableitung

Hauptartikel: Sinus hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Sinus-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in R$ wie folgt definiert:

\begin{aligned} {[\sinh (x)]}^{'} & = \frac{d}{d x} [\sinh (x)] \\ = \cosh (x) \end{aligned}

Stammfunktion

Hauptartikel: Sinus hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Sinus-hyperbolicus-Funktion lautet:

\int \sinh (x) d x = \cosh (x) + C

Weitere Stammfunktionen:

\begin{aligned} \int \sinh^{n} (x) d x & = \frac{1}{n} \cdot \cosh (x) \cdot \sinh^{n - 1} (x) - \frac{n - 1}{n} \cdot \int \sinh^{n - 2} (x) d x + C \\ \int \sinh^{- 1} (x) d x & = \int \frac{1}{\sinh (x)} d x \\ = \frac{1}{2} \cdot \ln (\cosh (x) - 1) - \frac{1}{2} \cdot \ln (\cosh (x) + 1) + C \\ \int \sinh^{- n} (x) d x & = \int \frac{1}{\sinh^{n} (x)} d x \\ = - \frac{1}{n - 1} \cdot \cosh (x) \cdot \sinh^{- n + 1} (x) - \frac{n - 2}{n - 1} \cdot \int \sinh^{- n + 2} (x) d x + C \end{aligned}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Sinus hyperbolicus (Reihenentwicklung)

Die Sinus-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{aligned} \sinh (x) & = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{(2 k + 1)!} \cdot x^{2 k + 1} \\ = x + \frac{1}{3!} x^{3} + \frac{1}{5!} x^{5} + \frac{1}{7!} x^{7} + \dots \end{aligned}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Sinus-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Hyperbelfunktionen dargestellt werden:

\begin{aligned} \sinh (x) & = sgn (x) \cdot \sqrt{\cosh^{2} (x) - 1} \\ = \frac{\tanh (x)}{\sqrt{1 - \tanh^{2} (x)}} \\ = \frac{sgn (x)}{\sqrt{\coth^{2} (x) - 1}} \\ = sgn (x) \cdot \frac{\sqrt{1 - {sech}^{2} (x)}}{sech (x)} \\ = \frac{1}{csch (x)} \end{aligned}

Bei $sgn$ handelt es sich hierbei um die Vorzeichenfunktion.