Aufgaben zur abc-Formel (Mitternachtsformel)

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der Mitternachtsformel wie folgt gelöst werden:

1. Zusammenfassen der Gleichung.
   

   Die quadratische Gleichung liegt bereits in der Form \(a{x}^2 + b x + c = 0\) vor.

   \[x^2 - 5x + 6 = 0\]

   Es gilt \(a=1\), \(b=-5\) und \(c=6\).

2. Anwenden der abc-Formel.
   

   Die gesuchten Lösungen können mithilfe der abc-Formel direkt berechnet werden.

   \[\begin{align*}
   {x}_{1/2} &= -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} \\[0.5em]
   &= -\frac{-5}{2 \cdot 1} \pm \sqrt{\frac{{\left(-5\right)}^{2}}{4 \cdot {1}^{2}}-\frac{6}{1}} \\[0.5em]
   &= \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}
   \end{align*}\]
3. Ausrechnen der Lösung.
   

   Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

   \[\begin{align*}
   {x}_{1/2} &= \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \\[1.5em]
   \Rightarrow\ {x}_1 &= 2 \\[0.5em]
   {x}_2 &= 3
   \end{align*}\]

   Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um ganzzahlige Lösungen.