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Aufgaben

Aufgaben zur Basis eines Polynomraums

Artikel zum Nachlesen: Basis eines Vektorraums

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Basis eines Polynomraums erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Gegeben seien die folgenden Polynome mit Koeffizienten aus \(\Q\):

\[\begin{align*}
p_{1}(x) &= x^2 - 2x + 4 \\[0.5em]
p_{2}(x) &= x - 3 \\[0.5em]
p_{3}(x) &= -2x^2 + 2x - 1
\end{align*}\]

Bestimme eine Basis des durch die gegebenen Polynome aufgespannten Vektorraums \(W\).

Aufgabengenerator

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Eigene Aufgabe

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Gib zunächst die Anzahl der Polynome, sowie den Zahlenbereich an, aus dem die Koeffizienten der Polynome stammen sollen. Entscheide außerdem, ob die Standardbasis bestimmt werden soll.

Gib die Polynome ein, die den Vektorraum aufspannen, dessen Basis bestimmt werden soll.

\(p_1=\)
\(0\)
\(p_2=\)
\(0\)
\(p_3=\)
\(0\)

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Um eine Basis \(\mathfrak{B}_W\) des durch die Polynome \(p_1,p_2,p_3\) aufgespannten Vektorraums \(W\) zu bestimmen, werden die Polynome durch die Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) repräsentiert, deren Einträge den Koeffizienten der Polynome entsprechen.

\[v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix} \quad v_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix} \quad v_{3} = \begin{bmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}\]

Um eine Basis \(\mathfrak{B}_V\) des durch die Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) aufgespannten Vektorraums \(V\) zu bestimmen, werden die Vektoren zunächst als Zeilen einer Matrix \(A\) aufgefasst.

\[A=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \\ -2 & 2 & -1 \end{bmatrix}\]

Die Zeilenvektoren der Matrix \(A\) spannen den Zeilenraum \(Z(A)\) auf, der dem durch die Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) aufgespannten Vektorraum \(V\) entspricht. Die erhaltene Matrix \(A\) wird anschließend in Zeilenstufenform überführt.

Das Überführen der Matrix in Zeilenstufenform geschieht schrittweise mithilfe des Gauß-Algorithmus:

\[\begin{array}{rrr|l}
1 & -2 & 4 & \\[0.25em]
0 & 1 & -3 & \\[0.25em]
-2 & 2 & -1 & \text{III} + 2 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 4 & \\[0.25em]
0 & 1 & -3 & \\[0.25em]
0 & -2 & 7 & \text{III} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 4 & \\[0.25em]
0 & 1 & -3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 &
\end{array}\]

Die als Zeilenstufenform vorliegende Matrix \(A'\) kann nun im letzten Schritt direkt abgelesen werden.

\[A'=\begin{bmatrix} 1 & -2 & 4 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\]

Da elementare Zeilenumformungen den Zeilenraum einer Matrix nicht verändern, besitzt die Matrix \(A'\) denselben Zeilenraum wie die ursprüngliche Matrix \(A\) – es gilt somit \(Z(A')=Z(A)=V\). Der Zeilenraum \(Z(A')\) wird durch die Nicht-Nullzeilen der Matrix \(A'\) aufgespannt. Da diese aufgrund der vorliegenden Zeilenstufenform der Matrix \(A'\) zudem implizit linear unabhängig sind, handelt es sich hierbei folglich um eine Basis des Zeilenraums \(Z(A')\), und somit auch um eine Basis \(\mathfrak{B}_V\) des durch die Vektoren \(v_1,v_2,v_3\) aufgespannten Vektorraums \(V\).

\[b_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \end{bmatrix}\quad b_{2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix}\quad b_{3}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]\[\mathfrak{B}_V = \Bigl\{b_1,b_2,b_3\Bigr\}\]

Abschließend können die gefundenen Basisvektoren wieder als Polynome interpretiert werden.

\[\begin{align*}
b_{1}(x) &= x^2 - 2x + 4 \\[0.5em]
b_{2}(x) &= x - 3 \\[0.5em]
b_{3}(x) &= 1
\end{align*}\]\[\mathfrak{B}_W = \Bigl\{b_1,b_2,b_3\Bigr\}\]
Lösung überprüfen

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Gib die Anzahl der Basispolynome sowie die bestimmte Basis des Vektorraums ein.

\(b_1=\)
\(0\)