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Aufgaben

Aufgaben zur inversen Matrix

Artikel zum Nachlesen: Inverse Matrix

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Inverse Matrix erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus \(\Q\):

\[\begin{bmatrix} 1 & -2 & 9 \\ 0 & 1 & -3 \\ -1 & 4 & -14 \end{bmatrix}\]

Bestimme die inverse Matrix mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Konfiguration anpassen
Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Gib an, aus welchem Zahlenbereich die Koeffizienten der Matrix stammen sollen.

Gib die Matrix ein, deren inverse Matrix bestimmt werden soll.

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Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Zunächst wird die Matrix um eine Einheitsmatrix derselben Dimension erweitert:

\[\left[\begin{array}{rrr|rrr}1 & -2 & 9 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 4 & -14 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\]

Die erweiterte Matrix wird nun mithilfe des Gauß-Jordan-Algorithmus in die erweiterte Zeilenstufenform überführt, so dass die ursprüngliche Matrix auf der linken Seite in eine Einheitsmatrix übergeht. Die anfängliche Einheitsmatrix auf der rechten Seite wird hierbei in die gesuchte inverse Matrix überführt.

\[\begin{array}{rrr|rrr|l}
1 & -2 & 9 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -3 & 0 & 1 & 0 & \\[0.25em]
-1 & 4 & -14 & 0 & 0 & 1 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 9 & 1 & 0 & 0 & \\[0.25em]
0 & 1 & -3 & 0 & 1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 2 & -5 & 1 & 0 & 1 & \text{III} - 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 9 & 1 & 0 & 0 & \text{I} - 9 \cdot \text{III} \\[0.25em]
0 & 1 & -3 & 0 & 1 & 0 & \text{II} + 3 \cdot \text{III} \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & \\[0.25em]
\hline
1 & -2 & 0 & -8 & 18 & -9 & \text{I} + 2 \cdot \text{II} \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 & \\[0.25em]
\hline
1 & 0 & 0 & -2 & 8 & -3 & \\[0.25em]
0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 3 & \\[0.25em]
0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 &
\end{array}\]

Die gesuchte inverse Matrix kann nun direkt abgelesen werden. Es gilt:

\[\begin{bmatrix} -2 & 8 & -3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix}\]

Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib zunächst an, ob die Matrix invertierbar ist. Gib gegebenenfalls außerdem die von dir berechnete inverse Matrix ein.

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