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Aufgaben zum Spaltenraum einer Matrix

Artikel zum Nachlesen: Spaltenraum einer Matrix

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Spaltenraum einer Matrix erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus $\Q$ :

\begin{bmatrix} 1 & -3 & -1 \\ 1 & -2 & -2 \\ 6 & -15 & -6 \end{bmatrix}

Bestimme mithilfe des Gauß-Algorithmus eine Basis für den Spaltenraum der gegebenen Matrix.

Aufgabengenerator

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Konfiguration anpassen

Anzahl Zeilen:

–

Anzahl Spalten:

–

Anzahl Basisvektoren:

–

Reduzierte Zeilenstufenform:

Typ:

Ganze Zahlen $\Z$

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Eigene Aufgabe

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Gib an, aus welchem Zahlenbereich die Koeffizienten der Matrix stammen sollen. Gib außerdem an, ob die Matrix in reduzierte Zeilenstufenform überführt werden soll.

Typ:

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Reduzierte Zeilenstufenform:

Gib die Matrix ein, für deren Spaltenraum eine Basis bestimmt werden soll.

$$0$$	$$0$$	$$0$$
$$0$$	$$0$$	$$0$$
$$0$$	$$0$$	$$0$$

Zeilen:

Spalten:

Aufgabe lösen

Musterlösung

Um eine Basis $\mathfrak{B}$ des Spaltenraums $S(A)$ der gegebenen Matrix $A$ zu bestimmen, wird diese zunächst transponiert und die erhaltene Matrix $A^T$ in Zeilenstufenform überführt.

A^T=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ -3 & -2 & -15 \\ -1 & -2 & -6 \end{bmatrix}

Das Überführen der Matrix in Zeilenstufenform geschieht schrittweise mithilfe des Gauß-Algorithmus:

\begin{array}{rrr|l}1 & 1 & 6 & \\[0.25em]-3 & -2 & -15 & \text{II} + 3 \cdot \text{I} \\[0.25em]-1 & -2 & -6 & \text{III} + \text{I} \\[0.25em]\hline1 & 1 & 6 & \\[0.25em]0 & 1 & 3 & \\[0.25em]0 & -1 & 0 & \text{III} + \text{II} \\[0.25em]\hline1 & 1 & 6 & \\[0.25em]0 & 1 & 3 & \\[0.25em]0 & 0 & 3 & \text{III} \cdot \frac{1}{3} \\[0.25em]\hline1 & 1 & 6 & \\[0.25em]0 & 1 & 3 & \\[0.25em]0 & 0 & 1 & \end{array}

Die als Zeilenstufenform vorliegende Matrix ${A^T}^\star$ kann nun im letzten Schritt direkt abgelesen werden.

{A^T}^\star=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Da elementare Zeilenumformungen den Zeilenraum einer Matrix nicht verändern, besitzt die Matrix ${A^T}^\star$ denselben Zeilenraum wie die ursprüngliche Matrix $A^T$ – es gilt somit $Z({A^T}^\star)=Z(A^T)$. Der Zeilenraum $Z({A^T}^\star)$ wird durch die Nicht-Nullzeilen der Matrix ${A^T}^\star$ aufgespannt. Da diese aufgrund der vorliegenden Zeilenstufenform der Matrix ${A^T}^\star$ zudem implizit linear unabhängig sind, handelt es sich hierbei folglich um eine Basis des Zeilenraums der transponierten Matrix. Da dieser äquivalent zum Spaltenraum $S(A)$ der ursprünglichen Matrix $A$ ist, handelt es sich ebenfalls um eine Basis $\mathfrak{B}$ des Spaltenraums von $A$.

b_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 6 \end{bmatrix}\quad b_{2}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}\quad b_{3}=\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]\[\mathfrak{B} = \Bigl\{b_1,b_2,b_3\Bigr\}

Lösung überprüfen

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Gib die Anzahl der Basisvektoren sowie die bestimmte Basis des Spaltenraums ein.

Anzahl Basisvektoren:

\(b_1=\)

\(0\)

\(0\)

\(0\)

$\(0\)$	$\(0\)$	$\(0\)$
$\(0\)$	$\(0\)$	$\(0\)$
$\(0\)$	$\(0\)$	$\(0\)$