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Wurzelgesetz V: Anpassung des Wurzelexponenten

Bei Wurzelgesetz V handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Wurzelexponent einer Wurzel angepasst werden kann.

Definition

Der Wurzelexponent einer Wurzel kann angepasst werden, indem der Wurzelexponent multipliziert und der Radikand entsprechend potenziert wird. Es gilt:

\sqrt[m]{a^{n}} = \sqrt[m \cdot p]{a^{n \cdot p}}

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

für reelle Zahlen $a \geq 0$ , $n$ und natürliche Zahlen $m, p$ .

Beispiele

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Wurzelexponent um den Faktor $4$ vergrößert.

\begin{aligned} \sqrt[3]{a^{2}} & = \sqrt[3 \cdot 4]{a^{2 \cdot 4}} \\ = \sqrt[12]{a^{8}} \end{aligned}

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Wurzelexponent um den Faktor $3$ reduziert.

\begin{aligned} \sqrt[6]{125} & = \sqrt[6]{5^{3}} \\ = \sqrt[2 \cdot 3]{5^{3}} \\ = \sqrt{5} \end{aligned}

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Beweis

Das Wurzelgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $a \in R$ mit $a \geq 0$ sowie drei natürliche Zahlen $m, n, p \in N$ . Es gilt:

\begin{aligned} \sqrt[m]{a^{n}} & \overset{(1)}{=} {(\sqrt[p]{\sqrt[m]{a^{n}}})}^{p} \\ \overset{(2)}{=} {(\sqrt[m \cdot p]{a^{n}})}^{p} \\ \overset{(3)}{=} \sqrt[m \cdot p]{{(a^{n})}^{p}} \\ \overset{(4)}{=} \sqrt[m \cdot p]{a^{n \cdot p}} \end{aligned}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen des kompletten Terms mit ${(\sqrt[p]{◻})}^{p}$ mithilfe der Definition der Wurzel
(2)	Anwenden von Wurzelgesetz III
(3)	Anwenden von Wurzelgesetz IV
(4)	Anwenden von Potenzgesetz III für natürliche Exponenten