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Kotangens hyperbolicus (Integrationsregel)

Herleitung der Stammfunktion von $\coth (x)$

Unter Zuhilfenahme der Definition des Kotangens hyperbolicus kann $\int \coth (x) d x$ wie folgt umgeschrieben werden:

\int \coth (x) d x = \int \frac{\cosh (x)}{\sinh (x)} d x .

Anschließend wird mit $t = \sinh (x)$ substituiert. Aus $t = \sinh (x)$ folgt $d t = \cosh (x) d t$ .

\begin{aligned} \int \coth (x) d x & = \int \frac{1}{t} d t \\ = \ln | t | \end{aligned}

Die abschließende Resubstitution liefert das gesuchte Ergebnis:

\int \coth (x) d x = \ln | \sinh (x) |

Unter Zuhilfenahme der Definition des Kotangens hyperbolicus kann $\int \frac{1}{\coth (x)} d x$ wie folgt umgeschrieben werden:

\begin{aligned} \int \frac{1}{\coth (x)} d x & = \int \frac{1}{\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}} d x \\ = \int \frac{\sinh x}{\cosh x} d x \end{aligned}

Anschließend wird mit $t = \cosh (x)$ substituiert. Aus $t = \cosh (x)$ folgt $d t = \sinh (x) d t$ .

\begin{aligned} \int \frac{1}{\coth (x)} d x & = \int \frac{1}{t} d t \\ = \ln | t | \end{aligned}

Die abschließende Resubstitution liefert das gesuchte Ergebnis:

\begin{aligned} = \int \frac{1}{\coth (x)} d x = \ln | \cosh (x) | \\ = \int \frac{1}{\coth (x)} d x = \ln (\cosh (x)) \end{aligned}

Zum Bestimmen einer Rekursionsformel für $\int \coth^{n} (x) d x$ wird dieses zunächst umgeschrieben. Es gilt:

\int \coth^{n} (x) d x = \int \coth^{2} (x) \cdot \coth^{n - 2} (x) d x .

Aufgrund der Definition $\coth (x) = \frac{\cosh (x)}{\sinh (x)}$ und der Identität $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x) = 1$ gilt die folgende Gleichheit:

\coth^{2} (x) = {(\frac{\cosh (x)}{\sinh (x)})}^{2} = \frac{\cosh^{2} (x)}{\sinh^{2} (x)} = \frac{\sinh^{2} (x) + 1}{\sinh^{2} (x)} = \frac{1}{\sinh^{2} (x)} + 1

Einsetzen in das umgeformte Integral und Aufteilen auf zwei Integrale ergibt:

\begin{aligned} \int \coth^{n} (x) d x & = \int (\frac{1}{\sinh^{2} (x)} + 1) \cdot \coth^{n - 2} (x) d x \\ = \int \frac{\coth^{n - 2} (x)}{\sinh^{2} (x)} d x + \int \coth^{n - 2} (x) d x . \end{aligned}

Nun wird im ersten Integral auf der rechten Seite mit $t = \coth (x)$ substituiert. Aus $t = \coth (x)$ folgt $d x = - \sinh^{2} (x) d t$ .

\begin{aligned} \int \coth^{n} (x) d x & = \int \frac{t^{n - 2}}{\sinh^{2} (x)} \cdot (- \sinh^{2} (x)) d t + \int \coth^{n - 2} (x) d x \\ = - \int t^{n - 2} d t + \int \coth^{n - 2} (x) d x \\ = - \frac{1}{n - 1} \cdot t^{n - 1} + \int \coth^{n - 2} (x) d x . \end{aligned}

Die abschließende Resubstitution liefert die gesuchte Rekursionsformel:

\int \coth^{n} (x) d x = - \frac{1}{n - 1} \cdot \coth^{n - 1} (x) + \int \coth^{n - 2} (x) d x .

Die Stammfunktion für $\coth^{- n} (x)$ kann durch Umstellen der Formel für $n > 1$ hergeleitet werden.

\int \coth^{n} (x) d x = - \frac{1}{n - 1} \cdot \coth^{n - 1} (x) + \int \coth^{n - 2} (x) d x

Umstellen nach $\int \coth^{n - 2} (x) d x$ :

\int \coth^{n - 2} (x) d x = \frac{1}{n - 1} \cdot \coth^{n - 1} (x) + \int \coth^{n} (x) d x

Substitution $m = n - 2$ :

\int \coth^{m} (x) d x = \frac{1}{m + 1} \cdot \coth^{m + 1} (x) + \int \coth^{m + 2} (x) d x