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Betragsfunktion

Die Betragsfunktion, auch bekannt als Absolutwertfunktion, ist eine elementare mathematische Funktion und spielt beispielsweise in der Algebra und in der Analysis eine wichtige Rolle. Sie beschreibt den Abstand einer Zahl von Null und liefert immer einen nicht-negativen Wert.

Definition

Die Betragsfunktion bzw. die Absolutwertfunktion (abgekürzt: |x|, manchmal auch abs) ordnet jeder reellen Zahl $x \in \R$ ihren Betrag bzw. ihren absoluten Wert |x| zu. Sie kann wie folgt definiert werden:

|x| = \begin{cases} -x & \text{, für } x \lt 0 \\[0.75em] \phantom{-}x & \text{, für } x \geq 0 \end{cases}

Der Wert |x| gibt somit den Abstand der Zahl x vom Nullpunkt an und ist stets nicht-negativ.

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Betragsfunktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$0 \leq \|x\| \lt \infty$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton fallend für $x \leq 0$ streng monoton steigend für $x \geq 0$
Krümmung	keine
Symmetrien	achsensymmetrisch zur $y$-Achse gerade Funktion
Asymptoten	keine
Nullstellen	$x_0=0$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extremstellen	keine
Wendepunkte	keine

Ableitung

Hauptartikel: Betrag (Ableitungsregel)

Die Betragsfunktion ist keine differenzierbare Funktion, da sie bei $x_0=0$ nicht differenzierbar ist. Sie ist allerdings in den Intervallen $x \lt 0$ sowie $x \gt 0$ differenzierbar und besitzt dort jeweils den konstanten Anstieg $-1$ bzw. $1$.

Für die (intervallweise) Ableitung der Betragsfunktion ergibt sich somit:

\begin{align*} {\Bigl[ |x| \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ |x| \Bigr] \\[0.75em] &= \begin{cases} -1 & \text{, falls } x \lt 0 \\[0.75em] \phantom{-}1 & \text{, falls } x \gt 0 \end{cases} \end{align*}

Die Ableitung der Betragsfunktion kann (für $x \neq 0$) alternativ auch wie folgt dargestellt werden:

\begin{align*} {\Bigl[ |x| \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ |x| \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{x}{|x|} \\[0.75em] &= \sgn(x) \quad(\text{für } x \neq 0) \end{align*}

Bei $\sgn$ handelt es sich um die Vorzeichenfunktion.

Stammfunktion

Hauptartikel: Betrag (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Betragsfunktion lautet:

\int{|x|\ dx} = \frac{x \cdot |x|}{2} + \mathcal{C}