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Aufgaben zum Potenzieren von Restklassen

Artikel zum Nachlesen: Potenzieren von Restklassen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Potenzieren von Restklassen erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 2

Berechne mithilfe des Potenzierens von Restklassen die folgende Potenz im Restklassenrings $\Z_{13}$ :

[5]_{13}^{25}

Sofern es sich bei dem gefundenen Ergebnis nicht um den Standardvertreter der Ergebnis-Restklasse handelt, so ist dieses entsprechend umzurechnen.

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Gib die Zahlen $a$, $n$ und $m$ ein, für die die Potenz $a^n$ im Restklassenring $\Z_m$ berechnet werden soll.

$a=$

$n=$

$m=$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Die Potenz $[5]_{13}^{25}$ kann mithilfe des Square and Multiply Verfahrens über die folgenden Zwischenschritte berechnet werden:

\begin{align*}[5]_{13}^{25} &= [5]_{13}^{24} \cdot [5]_{13} \\[0.5em][5]_{13}^{24} &= {\left( [5]_{13}^{12} \right)}^2 \\[0.5em][5]_{13}^{12} &= {\left( [5]_{13}^{6} \right)}^2 \\[0.5em][5]_{13}^{6} &= {\left( [5]_{13}^{3} \right)}^2 \\[0.5em][5]_{13}^{3} &= [5]_{13}^{2} \cdot [5]_{13} \\[0.5em][5]_{13}^{2} &= {\left( [5]_{13}^{1} \right)}^2\end{align*}

Durch Rückwärtseinsetzen kann die gesuchte Potenz nun schrittweise berechnet werden. Nach den Rechenregeln für das Potenzieren von Restklassen und das Multiplizieren von Restklassen werden nach jedem Zwischenschritt die Standardrepräsentanten der Restklassen bestimmt und mit diesen weiter gerechnet, um die Zwischenergebnisse möglichst klein zu halten.

\begin{align*}[5]_{13}^{2} &= [5]_{13} \cdot [5]_{13} =[12]_{13} \\[0.5em][5]_{13}^{3} &= [12]_{13} \cdot [5]_{13} = [8]_{13} \\[0.5em][5]_{13}^{6} &= [8]_{13}^2 = [12]_{13} \\[0.5em][5]_{13}^{12} &= [12]_{13}^2 = [1]_{13} \\[0.5em][5]_{13}^{24} &= [1]_{13}^2 = [1]_{13} \\[0.5em][5]_{13}^{25} &= [1]_{13} \cdot [5]_{13} = [5]_{13}\end{align*}

Das gesuchte Ergebnis lautet also wie folgt:

[5]_{13}^{25} = [5]_{13}

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Gib die berechnete Potenz ein.