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Aufgaben

Aufgaben zum multiplikativen Inversen von Restklassen

Artikel zum Nachlesen: Multiplikative Inverse von Restklassen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Multiplikative Inverse von Restklassen erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 2

Bestimme das multiplikative Inverse der Restklasse \([23]_{42}\) im Restklassenring \({\Z}_{42}\) mithilfe des erweiterten euklidischen Algorithmus.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

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Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Gib die Zahlen $a$ und $m$ ein, für die das multiplikative Inverse der Restklasse $ {[a]}_m$ im Restklassenring $\Z_m$ bestimmt werden soll.

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Zum Bestimmen des multiplikativen Inversen der Restklasse \([23]_{42}\) im Restklassenring \(\Z_{42}\) muss mit dem euklidischen Algorithmus zunächst der größte gemeinsame Teiler von \(42\) und \(23\) berechnet werden.

\[\begin{align*}
42 &= 1 \cdot 23 + 19 \\[0.5em]
23 &= 1 \cdot 19 + 4 \\[0.5em]
19 &= 4 \cdot 4 + 3 \\[0.5em]
4 &= 1 \cdot 3 + 1 \\[0.5em]
3 &= 3 \cdot 1 + 0
\end{align*}\]

Der größte gemeinsame Teiler \(1\) kann wie üblich an der vorletzten Zeile abgelesen werden. Da \(42\) und \(23\) folglich teilerfremd sind, kann das gesuchte multiplikative Inverse durch Rückwärtseinsetzen gefunden werden.

\[\begin{align*}
1 &=1\cdot4-1\cdot3 \\[0.5em]
&=1\cdot4-1\cdot(19-4\cdot4) \\[0.5em]
&=-1\cdot19+5\cdot4 \\[0.5em]
&=-1\cdot19+5\cdot(23-1\cdot19) \\[0.5em]
&=5\cdot23-6\cdot19 \\[0.5em]
&=5\cdot23-6\cdot(42-1\cdot23) \\[0.5em]
&=-6\cdot42+11\cdot23
\end{align*}\]

Aus dieser Gleichheit kann insbesondere die folgende Kongruenz abgelesen werden:

\[\begin{align*}
1 &\equiv \underbrace{-6 \cdot 42}_{\equiv 0}+11 \cdot 23 \pmod{42} \\[0.5em]
&\equiv 11 \cdot 23 \pmod{42}
\end{align*}\]

Bei \(x=11\) handelt es sich um das gesuchte multiplikative Inverse von \(23\) in \(\Z_{42}\).

Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib das berechnete multiplikative Inverse der Restklasse \([23]_{42}\) im Restklassenring \(\Z_{42}\) ein.