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Aufgaben

Aufgaben zu Nullstellen von Polynomen

Artikel zum Nachlesen: Nullstellen von Polynomen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Nullstellen von Polynomen erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Gegeben sei das folgenden Polynom mit Koeffizienten aus \(\Q\):

\[p(x) = x^2 - 5x + 6\]

Bestimme alle rationalen Nullstellen des Polynoms \(p(x)\).

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

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Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Gib an, aus welchen Zahlenbereichen die Koeffizienten des Polynoms sowie die zu bestimmenden Lösungen stammen sollen.

Gib das Polynom ein, dessen Nullstellen berechnet werden sollen.

\(p(x)=\)
\(0\)

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Zum Bestimmen der Nullstellen des Polynoms muss die folgende quadratische Gleichung gelöst werden.

\[x^2 - 5x + 6 = 0\]

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

  1. Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

    Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form \({x}^2 + p x + q = 0\) vor.

    \[\begin{align*}
    x^2 - 5x + 6 &= 0
    \end{align*}\]

    Es gilt \(p=-5\) und \(q=6\).

  2. Anwenden der pq-Formel.

    Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em]
    &= -\frac{-5}{2} \pm \sqrt{\frac{{\left(-5\right)}^{2}}{4}-6} \\[0.5em]
    &= \frac{5}{2} \pm \sqrt{\frac{1}{4}}
    \end{align*}\]
  3. Ausrechnen der Lösung.

    Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

    \[\begin{align*}
    {x}_{1/2} &= \frac{5}{2} \pm \frac{1}{2} \\[1.5em]
    \Rightarrow\ {x}_1 &= 2 \\[0.5em]
    {x}_2 &= 3
    \end{align*}\]

    Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um rationale Lösungen.

Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib zunächst die Anzahl der gefundenen rationalen Nullstellen ein.

Gib alle gefundenen rationalen Nullstellen des Polynoms ein. Mehrfach vorkommende Nullstellen müssen mehrfach eingegeben werden.

\(x_1=\)
\(0\)
\(x_2=\)
\(0\)