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Aufgaben

Aufgaben zum größten gemeinsamen Teiler von Polynomen

Artikel zum Nachlesen: Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 2

Gegeben seien die folgenden Polynome mit Koeffizienten aus \(\Q\):

\[\begin{align*}
a(x) &= -2x^8 + 2x^7 - x^3 + x^2 \\[0.5em]
b(x) &= -2x^6 + 2x^5 + x - 1
\end{align*}\]

Bestimme den normierten größten gemeinsamen Teiler der Polynome \(a(x)\) und \(b(x)\).

Aufgabengenerator

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Eigene Aufgabe

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Gib an, aus welchem Zahlenbereich die Koeffizienten der Polynome stammen sollen.

Gib die Polynome $a(x)$ und $b(x)$ ein, für die der größte gemeinsame Teiler $\ggT(a(x), b(x))$ berechnet werden soll.

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Mit den euklidischen Algorithmus werden solange Zerlegungen mit Rest bestimmt, bis der Rest $0$ erreicht wird.

\[\begin{align*}
-2x^8 + 2x^7 - x^3 + x^2 &\overset{(1)}{=} x^2 \cdot \left(-2x^6 + 2x^5 + x - 1\right)-2x^3 + 2x^2 \\[0.5em]
-2x^6 + 2x^5 + x - 1 &\overset{(2)}{=} x^3 \cdot \left(-2x^3 + 2x^2\right) + x - 1 \\[0.5em]
-2x^3 + 2x^2 &\overset{(3)}{=} -2x^2 \cdot \left(x - 1\right) + 0
\end{align*}\]

Der größte gemeinsame Teiler der beiden Polynome kann nun einfach abgelesen werden – es handelt sich um den Rest in der vorletzten Zeile.

\[x - 1\]

Bei dem gefundenen größten gemeinsamen Teiler handelt es sich bereits um den normierten größten gemeinsamen Teiler.

Erklärung zu Schritt (1)

Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{align*}
\begin{alignedat}{6}
& \phantom{-\bigl(}\llap{\bigl(}\,-\, &2x^8 & \,+\, & 2x^7 & \,-\, & x^3 & \,+\, & x^2\rlap{\bigr)} & &\ \, : & \, \bigl(-2x^6 + 2x^5 + x - 1\bigr) = x^2\\[0.5em]
& \phantom{-\bigl(}\llap{-\bigl(}\,-\, & 2x^8 & \,+\, & 2x^7 & \,+\, & x^3 & \,-\, & x^2\rlap{\bigr)} & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & \,-\, & 2x^3 & \,+\, & 2x^2 & & & \\[0.5em]
\end{alignedat}
\end{align*}

Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

\[\underbrace{-2x^8 + 2x^7 - x^3 + x^2}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{x^2}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{-2x^6 + 2x^5 + x - 1}_{=\ b(x)}\right)\underbrace{-2x^3 + 2x^2}_{=\ r(x)}\]

Erklärung zu Schritt (2)

Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{align*}
\begin{alignedat}{6}
& \phantom{-\bigl(}\llap{\bigl(}\,-\, &2x^6 & \,+\, & 2x^5 & \,+\, & x & \,-\, & 1\rlap{\bigr)} & &\ \, : & \, \bigl(-2x^3 + 2x^2\bigr) = x^3\\[0.5em]
& \phantom{-\bigl(}\llap{-\bigl(}\,-\, & 2x^6 & \,+\, & 2x^5\rlap{\bigr)} & & & & & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & & x & \,-\, & 1 & & & \\[0.5em]
\end{alignedat}
\end{align*}

Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

\[\underbrace{-2x^6 + 2x^5 + x - 1}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{x^3}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{-2x^3 + 2x^2}_{=\ b(x)}\right)+\underbrace{x - 1}_{=\ r(x)}\]

Erklärung zu Schritt (3)

Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{align*}
\begin{alignedat}{5}
& \phantom{-\bigl(}\llap{\bigl(}\,-\, &2x^3 & \,+\, & 2x^2\rlap{\bigr)} & & & &\ \, : & \, \bigl(x - 1\bigr) = -2x^2\\[0.5em]
& \phantom{-\bigl(}\llap{-\bigl(}\,-\, & 2x^3 & \,+\, & 2x^2\rlap{\bigr)} & & & & & \\[0.5em]\hline
& & & & & & 0 & & & \\[0.5em]
\end{alignedat}
\end{align*}

Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

\[\underbrace{-2x^3 + 2x^2}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{-2x^2}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{x - 1}_{=\ b(x)}\right)\]
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Gib den berechneten normierten größten gemeinsamen Teiler der Polynome ein.