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Aufgaben zur Division von Polynomen

Artikel zum Nachlesen: Division von Polynomen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Division von Polynomen erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 2

Gegeben seien die folgenden Polynome mit Koeffizienten aus $\Z$ :

\begin{align*}a(x) &= 2x^4 + x^3 + x + 3 \\[0.5em]b(x) &= x^2 + x - 1\end{align*}

Bestimme eine Zerlegung mit Rest für die Polynome $a(x)$ und $b(x)$, d. h., berechne mithilfe der Polynomdivision zwei Polynome $q(x)$ und $r(x)$, für die $a(x) = q(x) \cdot b(x) + r(x)$ sowie $\grad(r(x)) < \grad(b(x))$ gilt.

Aufgabengenerator

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Konfiguration anpassen

Anzahl Monome:

–

Schritte:

–

Typ:

Ganze Zahlen $\Z$

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

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Gib an, aus welchem Zahlenbereich die Koeffizienten der Polynome stammen sollen.

Typ:

Rationale Zahlen $\Q$

Restklassenkörper $\Z_p$ mit $p=$

Gib die Polynome $a(x)$ und $b(x)$ ein, für die Polynome $q(x)$ und $r(x)$ mit $a(x)=q(x) \cdot b(x) + r(x)$ mithilfe der Polynomdivision berechnet werden sollen.

$a(x)=$

$b(x)=$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Die Berechnung der Zerlegung mit Rest kann schrittweise mittels Polynomdivision durchgeführt werden.

\begin{align*}\begin{alignedat}{7}& & \llap{\bigl(} 2x^4 & \,+\, & x^3 & & & \,+\, & x & \,+\, & 3\rlap{\bigr)} & &\ \, : & \, \bigl(x^2 + x - 1\bigr) = 2x^2 - x + 3\\[0.5em]& \phantom{-\bigl(}& \llap{-\bigl(} 2x^4 & \,+\, & 2x^3 & \,-\, & 2x^2\rlap{\bigr)} & & & & & & & \\[0.5em]\hline& & & \,-\, & x^3 & \,+\, & 2x^2 & \,+\, & x & \,+\, & 3 & & & \\[0.5em]& & & \llap{-\bigl(}\,-\, & x^3 & \,-\, & x^2 & \,+\, & x\rlap{\bigr)} & & & & & \\[0.5em]\hline& & & & & & 3x^2 & & & \,+\, & 3 & & & \\[0.5em]& & & & & & \llap{-\bigl(} 3x^2 & \,+\, & 3x & \,-\, & 3\rlap{\bigr)} & & & \\[0.5em]\hline& & & & & & & \,-\, & 3x & \,+\, & 6 & & & \\[0.5em]\end{alignedat}\end{align*}

Die Division der beiden Polynome liefert die folgende Zerlegung mit Rest:

\underbrace{2x^4 + x^3 + x + 3}_{=\ a(x)} = \left(\underbrace{2x^2 - x + 3}_{=\ q(x)}\right) \cdot \left(\underbrace{x^2 + x - 1}_{=\ b(x)}\right)\underbrace{-3x + 6}_{=\ r(x)}

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Gib den berechneten Quotienten $q(x)$ sowie den berechneten Rest $r(x)$ ein.

$q(x)=$

$r(x)=$