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Aufgaben

Aufgaben zum Newton-Verfahren

Artikel zum Nachlesen: Newton-Verfahren

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Newton-Verfahren erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 2

Bestimme mithilfe des Newton-Verfahrens eine Näherungslösung für die Nullstelle der nachfolgenden Funktion \(f\).
\[f(x) = \sin{\left(x\right)}\]
Verwende als Startwert den Wert \(x_0 = 3\).
Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Gib die Funktion $f(x)$ ein, für die das Newton-Verfahren angewendet werden soll. Gib außerdem eine erste Näherungslösung $x_0$ für die Nullstelle ein sowie die Anzahl $n$ der maximal durchzuführenden Iterationen.

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Eingegebene Funktion sowie initiale Schätzung $x_0$ der Nullstelle:

\[f\left(x\right) = \sin{\left(x\right)}\]
\[x_{0} = 3\]

Zunächst wird die Rekursionsformel zur Berechnung der Nullstellen aufgestellt:

\[\begin{align*}
x_{n+1} &= x_n- \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \\[0.5em]
&= x_n - \frac{\sin{\left(x_n\right)}}{\cos{\left(x_n\right)}}
\end{align*}\]

Die Anwendung des Newton-Verfahrens liefert die folgenden Näherungswerte für die Nullstellen:

\[\begin{align*}
x_{0} &= 3 \\[0.5em]
x_{1} &= 3.1425465430742778 \\[0.5em]
x_{2} &= 3.141592653300477 \\[0.5em]
x_{3} &= 3.1415926535897931 \\[0.5em]
x_{4} &= 3.1415926535897931 \\[0.5em]
x_{5} &= 3.1415926535897931
\end{align*}\]

Die Näherungswerte \(x_{3}\) und \(x_{5}\) stimmen überein. Das bedeutet, dass sich das Newton-Verfahren in einer Schleife befindet und folglich keine weiter verbesserten Näherungswerte mehr liefern kann.