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Aufgaben

Aufgaben zur Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung

Artikel zum Nachlesen: Lineare Abbildung

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineare Abbildung: Abbildungsmatrix erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Gegeben seien eine lineare Abbildung \(f: \Q^{2} \rightarrow\Q^{3}\), die Vektoren \(v_{1}, v_{2}\) sowie deren Bilder \(f(v_{1}), f(v_{2})\).

\[v_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \quad v_{2} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}\]
\[f(v_{1}) = \begin{bmatrix} 5 \\ -8 \\ -1 \end{bmatrix} \quad f(v_{2}) = \begin{bmatrix} -9 \\ -7 \\ -5 \end{bmatrix}\]

Bestimme die zur linearen Abbildung \(f\) gehörende Abbildungsmatrix.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

Konfiguration anpassen
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 – 
Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Gib die Dimensionen von Urbild und Bild sowie den Zahlenbereich an, aus dem die Koeffizienten der Vektoren stammen sollen.

Gib die Basisvektoren und ihre Bilder ein, die die lineare Abbildung beschreiben.

\(v_1=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(v_2=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(v_3=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(f(v_{1})=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(f(v_{2})=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(f(v_{3})=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Zum Bestimmen der zur linearen Abbildung \(f\) gehörenden Abbildungsmatrix müssen zunächst die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren \(e_1,e_2\) bestimmt werden.

Berechnung des Bildes \(f(e_{1})\)
Berechnung des Bildes \(f(e_{2})\)

Für die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren wurden die folgenden Bilder gefunden:

\[f(e_{1}) = \begin{bmatrix} 23 \\ 6 \\ 9 \end{bmatrix} \quad f(e_{2}) = \begin{bmatrix} -9 \\ -7 \\ -5 \end{bmatrix}\]

Diese können nun verwendet werden, um die gesuchte Abbildungsmatrix direkt zu erzeugen. Bei den gefundenen Bildern der kanonischen Einheitsvektoren handelt es sich um Spalten der Abbildungsmatrix.

\begin{align*} A &= \begin{bmatrix} \mid & \mid \\[0.25em] f(e_1) & f(e_2) \\[0.25em] \mid & \mid \end{bmatrix} \\[0.5em] &=\begin{bmatrix} 23 & -9 \\ 6 & -7 \\ 9 & -5 \end{bmatrix}\end{align*}
Lösung überprüfen

Eigene Lösung überprüfen

Gib die berechnete Abbildungsmatrix ein.

\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)