Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Lineare Abbildung erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.
Aufgabe erstellen
Beispielaufgaben
Beispielaufgaben
Aufgabe 1 von 3
Gegeben seien eine lineare Abbildung\(f: \Q^{2} \rightarrow\Q^{3}\), die Vektoren\(v_{1}, v_{2}\) sowie deren Bilder \(f(v_{1}), f(v_{2})\).
Dieser Aufgabengenerator ist nur für angemeldete Benutzer verfügbar.
Gib die Anzahl der Vektoren, die Dimensionen von Urbild und Bild sowie den Zahlenbereich an, aus dem die Koeffizienten der Vektoren stammen sollen.
Gib die Vektoren und ihre Bilder ein, die die lineare Abbildung beschreiben.
\(v_1=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(v_2=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(v_3=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(f(v_{1})=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(f(v_{2})=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
\(f(v_{3})=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
Gib den Vektor ein, dessen Bild berechnet werden soll.
\(v=\)
\(0\)
\(0\)
\(0\)
Aufgabe lösen
Musterlösung
Musterlösung
Zum Bestimmen des Bildes \(f(v)\) muss zunächst der Vektor\(v\) als Linearkombination der Vektoren \(v_1,v_2\) dargestellt werden. Hierzu wird das folgende lineare Gleichungssystem gelöst.
\[\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2=v\]
Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.
Mithilfe der gefundenen Lösung kann nun der Vektor \(v\) als Linearkombination der Vektoren \(v_1,v_2\) dargestellt und das Bild \(f(v)\) unter Zuhilfenahme der Homogenität und Additivität der linearen Abbildung \(f\) direkt berechnet werden.
